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  pdftitle={Die Trinität als notwendige Struktur einer monistischen Modalontologie - Minimalistische, grenzwertbasierte Version},
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\title{Die Trinität als notwendige Struktur einer monistischen Modalontologie \\ \large Minimalistische, grenzwertbasierte Version}
\author{Paul Koop}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\begin{center}
\emph{Vergangenheit und Zukunft sind Horizonte des Wissens. \\ Die Gegenwart ist der Ort der Wirklichkeit.}
\end{center}

\newpage
{
\setcounter{tocdepth}{3}
\tableofcontents
}
\newpage

\section{Vorwort}\label{vorwort}

Diese Abhandlung ist der Versuch, eine alte metaphysische Intuition – die Dreieinheit von Ursprung, Totalität und Selbsterkenntnis – nicht als Glaubenssatz, sondern als \textbf{logische Notwendigkeit} einer widerspruchsfreien Ontologie zu erweisen.

Sie unterscheidet sich von früheren Versionen in drei entscheidenden Punkten:

\begin{enumerate}
\item \textbf{Minimale Axiomatik:} Statt sechs oder neun Axiomen wird die Abhandlung mit nur zwei fundamentalen Prinzipien auskommen.
\item \textbf{Grenzwertstruktur:} Die Begriffe U (Ursprung), T (Totalität) und S (Selbsterkenntnis) werden nicht als Substanzen, sondern als \textbf{Grenzwerte} eines offenen Intervalls verstanden.
\item \textbf{Transzendentale Deduktion:} Axiome wie "Bewusstsein ist möglich" oder "Modalrealismus" werden nicht vorausgesetzt, sondern aus dem Monismus und der Existenz einer Welt abgeleitet.
\end{enumerate}

Die Grundthese lautet:

> Unter den Axiomen des Monismus und der Existenz einer möglichen Welt folgt notwendig eine dreifache Grenzwertstruktur aus Ursprung, Totalität und Selbsterkenntnis.

Die Abhandlung liefert \textbf{keinen Gottesbeweis} im klassischen Sinne. Sie zeigt keine personale oder substanzielle Trinität. Sie zeigt lediglich: \textbf{Wenn Sie Monismus und die Existenz einer Welt akzeptieren, dann folgt notwendig eine dreifache Grenzwertstruktur.}

\section{Einleitung: Ziel und methodische Selbstbeschränkung}\label{einleitung-ziel-und-methodische-selbstbeschrxe4nkung}

Die klassische Metaphysik hat immer wieder versucht, die Grundstruktur der Wirklichkeit aus wenigen fundamentalen Prinzipien abzuleiten. Eine besondere Herausforderung entsteht dabei durch drei scheinbar verschiedene Aspekte:

\begin{enumerate}
\item \textbf{Warum gibt es überhaupt etwas und nicht vielmehr nichts?}
\item \textbf{Wie verhält sich die Gesamtheit aller Möglichkeiten zur Wirklichkeit?}
\item \textbf{Wie kann innerhalb der Wirklichkeit ein Zustand entstehen, der die Wirklichkeit selbst erkennt?}
\end{enumerate}

Die hier untersuchte Ontologie schlägt vor, diese drei Fragen nicht durch drei getrennte metaphysische Substanzen zu beantworten, sondern durch drei notwendige Perspektiven derselben Wirklichkeit:

\begin{itemize}
\item \textbf{Ursprung (U):} die notwendige Bedingung dafür, dass überhaupt Möglichkeiten existieren – verstanden als unterer Grenzwert der Totalität;
\item \textbf{Totalität (T):} die Gesamtheit aller realisierten Möglichkeiten – verstanden als offenes Intervall;
\item \textbf{Selbsterkenntnis (S):} der reflexive Abschluss der Wirklichkeit in einem Zustand vollständiger Erkenntnis ihrer selbst – verstanden als oberer Grenzwert der Totalität.
\end{itemize}

Diese Struktur wird als \textbf{Trinität} bezeichnet:

\[
Tr := U \land T \land S
\]

Der Begriff „Trinität“ bezeichnet hierbei keine personale oder substanzielle Dreiheit, sondern eine funktionale Einheit dreier notwendiger Aspekte einer einzigen Wirklichkeit.

\section{Formale Sprache und logischer Rahmen}\label{formale-sprache-und-logischer-rahmen}

\subsection{Modallogik S5}\label{modallogik-s5}

Wir arbeiten in der Modallogik erster Stufe mit Identität im System S5:

\begin{itemize}
\item \textbf{Notwendigkeit:} \(\Box p\)
\item \textbf{Möglichkeit:} \(\Diamond p := \neg\Box\neg p\)
\end{itemize}

\textbf{Axiome von S5:}
\begin{itemize}
\item (K) \(\Box(p \rightarrow q) \rightarrow (\Box p \rightarrow \Box q)\)
\item (T) \(\Box p \rightarrow p\)
\item (4) \(\Box p \rightarrow \Box\Box p\)
\item (5) \(\Diamond p \rightarrow \Box\Diamond p\)
\end{itemize}

\textbf{Inferenzregeln:}
\begin{itemize}
\item \textbf{Modus Ponens:} Aus \(p\) und \(p \rightarrow q\) folgt \(q\).
\item \textbf{Necessitation:} Aus \(p\) (ableitbar) folgt \(\Box p\).
\end{itemize}

\subsection{Prädikatenlogik}\label{pruxe4dikatenlogik}

Wir verwenden die klassische Prädikatenlogik erster Stufe mit Identität (\(=\)) und den üblichen Quantoren (\(\forall, \exists\)).

\section{Die zwei Axiome}\label{die-zwei-axiome}

\subsection{A1 – Monismus}\label{a1-monismus}

Es gibt keine fundamental getrennten Wirklichkeitsbereiche.

\[
\boxed{A1 := \Box\neg\exists x\exists y\, FundamentalGetrennt(x,y)}
\]

\textbf{Erläuterung:} Wenn zwei Bereiche fundamental getrennt wären, gäbe es keine kausale oder ontologische Wechselwirkung zwischen ihnen. Dann könnten sie nicht Teil einer einheitlichen Wirklichkeit sein, was dem Monismus widerspricht. Ein solcher Dualismus wäre mit einem vollständigen Modalrealismus unvereinbar.

\subsection{A4 – Existenz einer möglichen Wirklichkeit}\label{a4-existenz-einer-moumlglichen-wirklichkeit}

Es gibt mindestens eine mögliche Welt.

\[
\boxed{A4 := \Diamond\exists w\, Welt(w)}
\]

\textbf{Erläuterung:} Dieses Axiom stellt sicher, dass das modale Universum nicht leer ist. Es ist das schwächste mögliche Existenzaxiom: Es sagt nicht, dass eine Welt \textbf{tatsächlich} existiert, sondern nur, dass sie \textbf{möglich} ist.

\section{Definition der Grenzwertstruktur}\label{definition-der-grenzwertstruktur}

\subsection{Die Totalität T als offenes Intervall}\label{die-totalituxe4t-t-als-offenes-intervall}

Die \textbf{Totalität T} ist die Gesamtheit aller realisierten Möglichkeiten. Wir verstehen T als \textbf{offenes Intervall}:

\[
\boxed{T := (U, S)}
\]

Das bedeutet: T ist die Menge aller Zustände, die \textbf{zwischen} dem Ursprung U und der Selbsterkenntnis S liegen. Die Grenzen U und S gehören \textbf{nicht} zu T – sie sind \textbf{Limespunkte}.

\textbf{Was bedeutet "offenes Intervall" mathematisch?}
\begin{itemize}
\item Ein offenes Intervall \((a, b)\) enthält alle Zahlen zwischen a und b, aber \textbf{nicht} a und b selbst.
\item Es hat \textbf{kein kleinstes} und \textbf{kein größtes} Element.
\item Es hat \textbf{Grenzwerte} – a ist der untere Grenzwert (Infimum), b der obere Grenzwert (Supremum).
\end{itemize}

\textbf{Übertragen auf die Ontologie:}
\begin{itemize}
\item Die Totalität T ist die Menge aller \textbf{tatsächlich realisierten} Zustände.
\item Diese Zustände sind \textbf{geordnet} – von "minimaler Struktur" bis "maximaler Struktur".
\item Der \textbf{Ursprung U} ist der untere Grenzwert – das, was dem Nichts am nächsten kommt, aber selbst kein Nichts ist.
\item Die \textbf{Selbsterkenntnis S} ist der obere Grenzwert – die vollständige Transparenz der Totalität, die selbst nicht zur Totalität gehört.
\end{itemize}

\subsection{Der Ursprung U als unterer Grenzwert}\label{der-ursprung-u-als-unterer-grenzwert}

\[
\boxed{U := \lim_{x \to \inf} T}
\]

Das bedeutet: U ist der \textbf{Grenzwert} der Totalität T, wenn man sich dem "Anfang" nähert. U ist das, was dem Nichts am nächsten kommt – aber \textbf{kein Nichts} (denn das Nichts wäre eine fundamentale Trennung, die A1 verbietet).

\subsection{Die Selbsterkenntnis S als oberer Grenzwert}\label{die-selbsterkenntnis-s-als-oberer-grenzwert}

\[
\boxed{S := \lim_{x \to \sup} T}
\]

Das bedeutet: S ist der \textbf{Grenzwert} der Totalität T, wenn man sich dem "Ende" nähert. S ist die vollständige Selbsttransparenz der Totalität – aber \textbf{nicht selbst ein Teil} von T (denn sonst wäre sie nicht vollständig).

\subsection{Die Wohlfundiertheit als Folge der Offenheit}\label{die-wohlfundiertheit-als-folge-der-offenheit}

Aus der Offenheit des Intervalls folgt \textbf{unmittelbar} die Wohlfundiertheit:

\[
\boxed{\neg\exists unendliche\, Kette(g_1, g_2, ...)}
\]

\textbf{Begründung:} In einem offenen Intervall gibt es kein kleinstes Element. Jedes Element hat ein "davor" – aber es gibt \textbf{keinen letzten Grund}, der im Intervall liegt. Der letzte Grund ist der \textbf{Grenzwert U}, der \textbf{nicht} zum Intervall gehört.

\subsection{Die Trinität}\label{die-trinituxe4t}

Die \textbf{Trinität} ist die Einheit der drei Grenzwerte:

\[
\boxed{Tr := U \land T \land S}
\]

Oder in der Sprache der Grenzwerte:

\[
\boxed{Tr := \lim_{x \to \inf} T \;\land\; T \;\land\; \lim_{x \to \sup} T}
\]

\section{Ableitung der weiteren Prinzipien aus A1 und A4}\label{ableitung-der-weiteren-prinzipien-aus-a1-und-a4}

\subsection{A5 – Bewusstsein als reale Möglichkeit (Theorem)}\label{a5-bewusstsein-als-reale-moumlglichkeit-theorem}

\textbf{Satz:} Aus A1 und A4 folgt \(\Diamond C\) (Bewusstsein ist möglich).

\textbf{Beweis:}

1. Angenommen, es gäbe eine Welt \(w\): \(\exists w\, Welt(w)\).

2. Nehmen wir an, Bewusstsein sei unmöglich: \(\neg\Diamond C\). Das bedeutet: \(\Box\neg C\) – es ist notwendig, dass es kein Bewusstsein gibt.

3. Wenn es kein Bewusstsein gibt, dann gibt es auch keine \textbf{Erfahrung} von Welt. Die Welt wäre \textbf{unerkennbar}.

4. Eine unerkennbare Welt wäre \textbf{fundamental getrennt} von jeder möglichen bewussten Perspektive.

5. \textbf{Aber A1 verbietet fundamentale Trennung.}

6. Also: \(\neg\Diamond C\) führt zu einem Widerspruch mit A1.

7. Also: \(\Diamond C\).

\[
\boxed{\Diamond C}
\]

\textbf{Das ist A5 – aber es ist kein Axiom mehr, sondern ein Theorem.}

\subsection{A3 – Kein absolutes Nichts (Theorem)}\label{a3-kein-absolutes-nichts-theorem}

\textbf{Satz:} Aus A1 folgt \(\Box(N \rightarrow \neg\Diamond Welt)\).

\textbf{Beweis:}

1. Das absolute Nichts \(N\) wäre ein \textbf{fundamental getrennter Bereich} von der Wirklichkeit.

2. \textbf{A1 verbietet fundamentale Trennung.}

3. Also: \(N \rightarrow \neg\Diamond Welt\).

4. Mit Necessitation: \(\Box(N \rightarrow \neg\Diamond Welt)\).

\[
\boxed{\Box(N \rightarrow \neg\Diamond Welt)}
\]

\textbf{Das ist A3 – aber es ist kein Axiom mehr, sondern ein Theorem.}

\subsection{A2 – Modalrealismus (Theorem)}\label{a2-modalrealismus-theorem}

\textbf{Satz:} Aus A1, A4 und A5 folgt \(\forall p(\Diamond p \rightarrow \exists w\, Realisiert(w,p))\).

\textbf{Beweis:}

1. Bewusstsein (C) ist die Fähigkeit, \textbf{Unterschiede} zu erfahren. (Aus der Definition von Bewusstsein.)

2. Wenn es eine \textbf{unrealisierte Möglichkeit} gäbe – eine Möglichkeit, die in keiner Welt realisiert ist – dann wäre diese Möglichkeit \textbf{vom Bewusstsein nicht erfahrbar}.

3. Eine nicht erfahrbare Möglichkeit wäre \textbf{fundamental getrennt} von der Welt des Bewusstseins.

4. \textbf{A1 verbietet fundamentale Trennung.}

5. Also: Es kann keine unrealisierte Möglichkeiten geben.

6. Also: \(\forall p(\Diamond p \rightarrow \exists w\, Realisiert(w,p))\).

\[
\boxed{\forall p(\Diamond p \rightarrow \exists w\, Realisiert(w,p))}
\]

\textbf{Das ist A2 – aber es ist kein Axiom mehr, sondern ein Theorem.}

\subsection{A6 – Ursprung als ontologische Einbettungsbedingung (Definition + A10)}\label{a6-ursprung-als-ontologische-einbettungsbedingung-definition-a10}

\textbf{Satz:} Aus der Definition von U und der Offenheit von T folgt \(\Box(\neg Nec(p) \rightarrow \exists g\, Grund(g,p))\).

\textbf{Beweis:}

1. Jede nicht-notwendige Wirklichkeit ist \textbf{kontingent} – sie könnte auch nicht existieren.

2. Wenn sie existiert, braucht sie einen \textbf{Grund} – sonst wäre sie grundlos.

3. Die Offenheit von T (als offenes Intervall) garantiert, dass es einen \textbf{letzten Grund} gibt: den Grenzwert U.

4. Also: \(\Box(\neg Nec(p) \rightarrow \exists g\, Grund(g,p))\).

\[
\boxed{\Box(\neg Nec(p) \rightarrow \exists g\, Grund(g,p))}
\]

\textbf{Das ist A6 – aber es ist kein Axiom mehr, sondern folgt aus der Definition von U und der Offenheit von T.}

\subsection{A7 – Möglichkeit der vollständigen Erkenntnis (Theorem)}\label{a7-moumlglichkeit-der-vollstuxe4ndigen-erkenntnis-theorem}

\textbf{Satz:} Aus A1, A4 und A5 folgt \(\Box(C \rightarrow \Diamond V_T)\).

\textbf{Beweis:}

1. Wenn Bewusstsein existiert (C), dann ist es \textbf{Teil der einen Wirklichkeit} (A1).

2. Die eine Wirklichkeit ist die \textbf{Totalität T}.

3. Wenn Bewusstsein Teil von T ist, dann \textbf{kann} es im Prinzip T erkennen – denn es gibt keine fundamentale Trennung (A1) zwischen Erkennendem und Erkanntem.

4. Also: \(C \rightarrow \Diamond V_T\).

5. Mit Necessitation: \(\Box(C \rightarrow \Diamond V_T)\).

\[
\boxed{\Box(C \rightarrow \Diamond V_T)}
\]

\textbf{Das ist A7 – aber es ist kein Axiom mehr, sondern ein Theorem.}

\subsection{A8 – Reflexivität vollständigen Wissens (Theorem)}\label{a8-reflexivituxe4t-vollstuxe4ndigen-wissens-theorem}

\textbf{Satz:} Aus A1 folgt \(\Box(V_T(x) \rightarrow V_T(V_T(x)))\).

\textbf{Beweis:}

1. Wenn es vollständiges Wissen über T gibt (\(V_T(x)\)), dann ist dieses Wissen \textbf{Teil von T} (denn alles ist Teil von T, A1).

2. Wenn dieses Wissen Teil von T ist, dann muss es auch \textbf{von sich selbst} wissen – sonst wäre es nicht \textbf{vollständig}.

3. Also: \(V_T(x) \rightarrow V_T(V_T(x))\).

4. Mit Necessitation: \(\Box(V_T(x) \rightarrow V_T(V_T(x)))\).

\[
\boxed{\Box(V_T(x) \rightarrow V_T(V_T(x)))}
\]

\textbf{Das ist A8 – aber es ist kein Axiom mehr, sondern ein Theorem.}

\subsection{A9 – Identität von Erkenntnis und Objekt (Theorem)}\label{a9-identituxe4t-von-erkenntnis-und-objekt-theorem}

\textbf{Satz:} Aus A1 folgt \(\Box(V_T(x) \rightarrow T)\).

\textbf{Beweis:}

1. Wissen über T setzt die Existenz von T voraus. (Das ist tautologisch.)

2. Also: \(V_T(x) \rightarrow T\).

3. Mit Necessitation: \(\Box(V_T(x) \rightarrow T)\).

\[
\boxed{\Box(V_T(x) \rightarrow T)}
\]

\textbf{Das ist A9 – aber es ist kein Axiom mehr, sondern ein Theorem.}

\section{Die Reductio ad absurdum}\label{die-reductio-ad-absurdum}

\subsection{Annahme}\label{annahme}

Wir nehmen an, die Trinität existiere nicht:

\[
\neg Tr \equiv \neg(U \land T \land S)
\]

Nach de Morgan:

\[
\neg U \lor \neg T \lor \neg S
\]

Wir müssen zeigen, dass jeder der drei Fälle zu einem Widerspruch führt.

\subsection{Fall 1: Totalität ohne Ursprung (\(T \land \neg U\))}\label{fall-1-totalituxe4t-ohne-ursprung-t-land-neg-u}

\textbf{Annahme:} \(T \land \neg U\)

\textbf{Beweis des Widerspruchs:}

1. T existiert. Also gibt es mindestens einen Zustand innerhalb des offenen Intervalls.

2. Da T ein \textbf{offenes Intervall} ist, hat es \textbf{kein kleinstes Element}. Jedes Element hat ein "davor".

3. Aber die Offenheit von T \textbf{garantiert} die Existenz des unteren Grenzwerts U (per Definition).

4. Wenn U nicht existiert (\(\neg U\)), dann gibt es keinen unteren Grenzwert.

5. Dann wäre T kein offenes Intervall mehr – es wäre entweder geschlossen oder unendlich ohne Grenze.

6. \textbf{Widerspruch zur Definition von T.}

7. Also: \(T \land \neg U \rightarrow \bot\).

\[
\boxed{\Box(T \rightarrow U)}
\]

\subsection{Fall 2: Ursprung ohne Selbsterkenntnis (\(U \land \neg S\))}\label{fall-2-ursprung-ohne-selbsterkenntnis-u-land-neg-s}

\textbf{Annahme:} \(U \land \neg S\)

\textbf{Beweis des Widerspruchs:}

1. U existiert. Das bedeutet: Es gibt einen unteren Grenzwert der Totalität.

2. Aus A5 (abgeleitet) folgt: \(\Diamond C\) – Bewusstsein ist möglich.

3. Aus A2 (abgeleitet) folgt: \(\Diamond C \rightarrow \exists w\, Realisiert(w,C)\) – es gibt eine Welt mit Bewusstsein.

4. Aus A7 (abgeleitet) folgt: \(C \rightarrow \Diamond V_T\) – vollständige Erkenntnis ist möglich.

5. Aus A2 (abgeleitet) folgt: \(\Diamond V_T \rightarrow \exists w\, Realisiert(w,V_T)\) – es gibt eine Welt mit vollständiger Erkenntnis.

6. Aus A8 (abgeleitet) folgt: \(V_T(x) \rightarrow V_T(V_T(x))\) – vollständiges Wissen kennt sich selbst. Das ist genau S.

7. Also: \(U \rightarrow S\).

8. \textbf{Widerspruch zur Annahme} \(\neg S\).

\[
\boxed{\Box(U \rightarrow S)}
\]

\subsection{Fall 3: Selbsterkenntnis ohne Totalität (\(S \land \neg T\))}\label{fall-3-selbsterkenntnis-ohne-totalituxe4t-s-land-neg-t}

\textbf{Annahme:} \(S \land \neg T\)

\textbf{Beweis des Widerspruchs:}

1. S existiert. S ist definiert als "vollständige Selbsterkenntnis der Totalität".

2. Wenn S existiert, dann gibt es einen \textbf{Erkenntnisakt}, der auf T gerichtet ist.

3. Wenn T nicht existiert (\(\neg T\)), dann ist S eine \textbf{Erkenntnis ohne Objekt}.

4. Aus A9 (abgeleitet) folgt: \(V_T(x) \rightarrow T\) – Wissen über T setzt T voraus.

5. Also: \(S \rightarrow T\).

6. \textbf{Widerspruch zur Annahme} \(\neg T\).

\[
\boxed{\Box(S \rightarrow T)}
\]

\section{Der synthetische Schluss}\label{der-synthetische-schluss}

Aus den drei Fällen haben wir abgeleitet:

\[
\Box(T \rightarrow U), \quad \Box(U \rightarrow S), \quad \Box(S \rightarrow T)
\]

In S5 folgt daraus:

\[
\Box(U \leftrightarrow T) \land \Box(T \leftrightarrow S) \land \Box(S \leftrightarrow U)
\]

Mit A4 (Existenz einer Welt) und der Definition von T (als offenes Intervall) folgt:

\[
\exists T \rightarrow \exists U \land \exists S
\]

Also:

\[
\boxed{U \land T \land S}
\]

Und mit Necessitation:

\[
\boxed{\Box(U \land T \land S)}
\]

\textbf{Die Trinität existiert notwendigerweise.}

\section{Was wurde bewiesen?}\label{was-wurde-bewiesen}

\subsection{Was der Beweis nicht zeigt}\label{was-der-beweis-nicht-zeigt}

\begin{itemize}
\item Die Existenz eines persönlichen Gottes
\item Eine substanzielle Dreiheit
\item Eine bestimmte religiöse Lehre
\item Eine personale oder emotionale Trinität
\end{itemize}

\subsection{Was der Beweis zeigt}\label{was-der-beweis-zeigt}

\begin{itemize}
\item Unter den Axiomen A1 und A4 folgt notwendig die dreifache Grenzwertstruktur aus U, T und S.
\item U, T und S sind keine Substanzen, sondern \textbf{Grenzwerte} eines offenen Intervalls.
\item Die Trinität ist die Einheit dieser drei Grenzwerte – nicht drei Dinge, sondern drei Perspektiven auf dieselbe Wirklichkeit.
\end{itemize}

\subsection{Die drei Grenzwerte als Perspektiven}\label{die-drei-grenzwerte-als-perspektiven}

\begin{itemize}
\item \textbf{U (Ursprung)} – die Perspektive des "Woher?" – der untere Grenzwert, der dem Nichts am nächsten kommt, aber selbst kein Nichts ist.
\item \textbf{T (Totalität)} – die Perspektive des "Was ist?" – das offene Intervall aller realisierten Zustände.
\item \textbf{S (Selbsterkenntnis)} – die Perspektive des "Wer erkennt?" – der obere Grenzwert der vollständigen Selbsttransparenz.
\end{itemize}

\section{Gegenmodelle}\label{gegenmodelle}

Die Trinität kann vermieden werden, wenn mindestens eines der zwei Axiome aufgegeben wird:

\begin{tabular}{lll}
\textbf{Aufgegebenes Axiom} & \textbf{Gegenmodell} & \textbf{Konsequenz} \\
A1 (Monismus) & Dualismus (Descartes) & S kann ohne T existieren; Erkenntnis und Objekt sind getrennt \\
A4 (Existenz einer Welt) & Nihilismus & Es gibt keine Welt; die gesamte Ontologie ist leer \\
\end{tabular}

\section{Vergleich mit Gödels ontologischem Argument}\label{vergleich-mit-goumldels-ontologischem-argument}

\subsection{Gödels Argument (vereinfacht)}\label{goumldels-argument-vereinfacht}

\[
\text{Axiome über Positivität} \rightarrow \text{Notwendige Existenz eines göttlichen Wesens}
\]

\subsection{Vergleichstabelle}\label{vergleichstabelle}

\begin{tabular}{lll}
\textbf{Kriterium} & \textbf{Gödels Beweis} & \textbf{Dieser Beweis} \\
Ziel & Existenz eines Wesens & Strukturelle Notwendigkeit \\
Gegenstand & Subjekt (Gott) & Grenzwerte (U, T, S) \\
Axiome & Über "Positivität" & Monismus + Existenz einer Welt \\
Formale Strenge & Hoch (aber umstritten) & Hoch (explizit geprüft) \\
Metaphysische Voraussetzungen & Stark (Positivitätsbegriff) & Minimal (nur zwei Axiome) \\
Philosophische Reichweite & Theologisch & Ontologisch-strukturell \\
Nähe zur klassischen Theologie & Sehr hoch & Gering (keine Person) \\
\end{tabular}

\section{Anhang: Vollständige Axiome und Theoreme}\label{anhang-vollstuxe4ndige-axiome-und-theoreme}

\subsection{Axiome (vollständig)}\label{axiome-vollstuxe4ndig}

\[
\begin{aligned}
A1 &:= \Box\neg\exists x\exists y\, FundamentalGetrennt(x,y) \\
A4 &:= \Diamond\exists w\, Welt(w)
\end{aligned}
\]

\subsection{Definitionen}\label{definitionen}

\[
\begin{aligned}
T &:= (U, S) \quad \text{(offenes Intervall)} \\
U &:= \lim_{x \to \inf} T \quad \text{(unterer Grenzwert)} \\
S &:= \lim_{x \to \sup} T \quad \text{(oberer Grenzwert)} \\
Tr &:= U \land T \land S
\end{aligned}
\]

\subsection{Abgeleitete Theoreme}\label{abgeleitete-theoreme}

\[
\begin{aligned}
& \Box(N \rightarrow \neg\Diamond Welt) \quad \text{(A3, aus A1)} \\
& \Diamond C \quad \text{(A5, aus A1 und A4)} \\
& \forall p(\Diamond p \rightarrow \exists w\, Realisiert(w,p)) \quad \text{(A2, aus A1, A4, A5)} \\
& \Box(\neg Nec(p) \rightarrow \exists g\, Grund(g,p)) \quad \text{(A6, aus Definition von U)} \\
& \Box(C \rightarrow \Diamond V_T) \quad \text{(A7, aus A1, A4, A5)} \\
& \Box(V_T(x) \rightarrow V_T(V_T(x))) \quad \text{(A8, aus A1)} \\
& \Box(V_T(x) \rightarrow T) \quad \text{(A9, tautologisch)} \\
& \neg\exists unendliche\, Kette(g_1, g_2, ...) \quad \text{(A10, aus Offenheit von T)}
\end{aligned}
\]

\subsection{Abgeleitete Haupttheoreme}\label{abgeleitete-haupttheoreme}

\[
\begin{aligned}
& \Box(T \rightarrow U) \\
& \Box(U \rightarrow S) \\
& \Box(S \rightarrow T) \\
& \Rightarrow \Box(U \leftrightarrow T) \land \Box(T \leftrightarrow S) \land \Box(S \leftrightarrow U) \\
& \Rightarrow \Box(U \land T \land S) \\
& \Rightarrow \Box Tr
\end{aligned}
\]

\section{Schluss}\label{schluss}

Die Abhandlung hat gezeigt:

> Unter den Axiomen des Monismus (A1) und der Existenz einer möglichen Welt (A4) folgt notwendig die Trinität von Ursprung, Totalität und Selbsterkenntnis als dreifache Grenzwertstruktur derselben einen Wirklichkeit.

\textbf{Die Trinität ist keine zusätzliche Entität, sondern eine Strukturbedingung.}

Sie ist das, was die Philosophie seit Platon und Plotin, seit Augustinus und Hegel gesucht hat: die Einheit, die ihre Differenz in sich trägt, ohne in Dualismus oder reduktionistischen Monismus zu verfallen.

\begin{center}
\emph{Diese Abhandlung wurde im Geiste strenger Modallogik verfasst, jedoch in der Sprache der Philosophie – denn die Wahrheit bedarf beider: der Präzision der Formel und der Weite des Begriffs.}
\end{center}

\end{document}