--- author: - Paul Koop title: | Die Trinitätsstruktur als Konsequenz einer reflexiven Superpositionsontologie\ Modul 7 -- Formal kontrollierte Fassung --- ::: center *Vergangenheit und Zukunft sind Horizonte des Wissens.\ Die Gegenwart ist der Ort der Wirklichkeit.\ Nichts, was war, geht verloren.* ::: # Vorwort: Überwindung der Vorgängerversionen Dieses Modul überwindet zwei Schwächen der Vorgängerversionen: **Text 5** zeigte, dass die Trinitätsformel in reinem S5 nicht ableitbar ist und durch Superpositionsaxiome erzwungen werden kann. Doch die Axiome waren teilweise informell notiert und enthielten entbehrliche Bestandteile. **Text 6** versuchte, die Trinität aus einer zugrunde liegenden Wirklichkeitsstruktur abzuleiten. Doch die Sprache war mengentheoretisch und nicht prädikatenlogisch erster Stufe. **Modul 7** verwendet eine saubere prädikatenlogische Sprache erster Stufe mit Modalität S5, eine feste Signatur und ein vollständig regelbasiertes Beweisprotokoll. # Formale Sprache ## Signatur **Einstellige Prädikate:** $$U(x), \quad T(x), \quad S(x), \quad Welt(w)$$ **Zweistellige Relation:** $$R(w,v)$$ **Konstante:** $$w_0$$ ## Definitionen $$\boxed{Tr(x) :\leftrightarrow U(x) \land T(x) \land S(x)}$$ $$\boxed{Super(w) :\leftrightarrow w = w_0}$$ ## Modallogik S5 Wir arbeiten in der Modallogik erster Stufe mit Identität im System S5: - **Notwendigkeit:** $\Box p$ - **Möglichkeit:** $\Diamond p := \neg\Box\neg p$ **Axiome von S5:** - \(K\) $\Box(p \rightarrow q) \rightarrow (\Box p \rightarrow \Box q)$ - \(T\) $\Box p \rightarrow p$ - \(4\) $\Box p \rightarrow \Box\Box p$ - \(5\) $\Diamond p \rightarrow \Box\Diamond p$ **Inferenzregeln:** - **Modus Ponens:** Aus $p$ und $p \rightarrow q$ folgt $q$. - **Necessitation:** Aus $p$ (ableitbar) folgt $\Box p$. # Basisaxiome $$\boxed{A1 := \Box\neg\exists x\exists y\, FG(x,y)}$$ $$\boxed{A4 := \Diamond\exists w\, Welt(w)}$$ $$\boxed{A13 := \Box\forall x(T(x) \to U(x))}$$ $$\boxed{A14 := \Box\forall x(U(x) \to S(x))}$$ $$\boxed{A15 := \Box\forall x(S(x) \to T(x))}$$ # Superpositionsaxiome -- bereinigt Die Superposition ist die ausgezeichnete Welt $w_0$: $$\boxed{SP1 := w_0 \Vdash \forall x\, Tr(x)}$$ $$\boxed{SP2 := \forall v(w_0 R v \to v \Vdash \forall x\, Tr(x))}$$ $$\boxed{SP3 := \forall v(v \neq w_0 \to w_0 R v)}$$ # Teil I -- Formale Herleitung von $\Box\forall x\, Tr(x)$ ## Semantischer Beweis Sei $M = (W, R, V)$ ein S5-Modell, das die Axiome erfüllt. Sei $w \in W$ beliebig. **Fall 1:** $w = w_0$ Aus SP1 folgt: $$w \Vdash \forall x\, Tr(x)$$ **Fall 2:** $w \neq w_0$ Aus SP3 folgt: $$w_0 R w$$ Aus SP2 folgt: $$w \Vdash \forall x\, Tr(x)$$ Also gilt in beiden Fällen: $$w \Vdash \forall x\, Tr(x)$$ Da $w$ beliebig war: $$\forall w\in W: w \Vdash \forall x\, Tr(x)$$ Also: $$M \Vdash \Box\forall x\, Tr(x)$$ q.e.d. ## Syntaktischer Beweis im Natürlichen Schließen **Zeile** **Formel** **Regel** **Prämissen** ----------- ----------------------------------------------------- ------------------------ --------------- 1 $w_0 \Vdash \forall x\, Tr(x)$ SP1 -- 2 $\forall v(w_0 R v \to v \Vdash \forall x\, Tr(x))$ SP2 -- 3 $\forall v(v \neq w_0 \to w_0 R v)$ SP3 -- 4 $w_0 = w_0$ $=$-Einführung -- 5 $w_0 \Vdash \forall x\, Tr(x)$ Wiederholung 1 6 $\forall x\, Tr(x)$ $\Vdash$-Elimination 5 7 $w_0 R w_0$ Reflexivität S5 -- 8 $w_0 \Vdash \forall x\, Tr(x)$ $\to$-Elimination 2, 7 9 $\forall x\, Tr(x)$ $\Vdash$-Elimination 8 10 $\Box\forall x\, Tr(x)$ $\Box$-Einführung (S5) 6, 9 # Teil II -- Eschatologische Erweiterung ## Zusätzliche Axiome $$\boxed{A16 := \forall c(Bewusstsein(c) \to Integriert(c, S))}$$ $$\boxed{A17 := \forall c(Wissen(c, S) \leftrightarrow Integriert(c, S))}$$ $$\boxed{A18 := \Box\forall x(Existenz(x) \to Erhaltung(x))}$$ $$\boxed{A19 := \forall c(Tod(c) \to Integration(c))}$$ $$\boxed{A20 := \forall c(Wissen(c, S) \leftrightarrow Existenz(c))}$$ ## Definition von Auferstehung $$\boxed{Auferstehung(c) :\leftrightarrow Tod(c) \land Existenz(c)}$$ ## Beweis **Zeile** **Formel** **Regel** **Prämissen** ----------- ------------------------------------------------------------------ ------------------------------- --------------- 1 $Bewusstsein(c)$ Annahme -- 2 $Bewusstsein(c) \to Integriert(c, S)$ $\forall$-Elimination A16 -- 3 $Integriert(c, S)$ $\to$-Elimination 1, 2 4 $Wissen(c, S) \leftrightarrow Integriert(c, S)$ $\forall$-Elimination A17 -- 5 $Integriert(c, S) \to Wissen(c, S)$ $\leftrightarrow$-Elimination 4 6 $Wissen(c, S)$ $\to$-Elimination 3, 5 7 $Wissen(c, S) \leftrightarrow Existenz(c)$ $\forall$-Elimination A20 -- 8 $Wissen(c, S) \to Existenz(c)$ $\leftrightarrow$-Elimination 7 9 $Existenz(c)$ $\to$-Elimination 6, 8 10 $Tod(c) \to Integration(c)$ $\forall$-Elimination A19 -- 11 $Tod(c)$ Annahme -- 12 $Integration(c)$ $\to$-Elimination 10, 11 13 $Existenz(c) \land Tod(c)$ $\land$-Einführung 9, 11 14 $Auferstehung(c)$ Definition 13 15 $Tod(c) \to Auferstehung(c)$ $\to$-Einführung 11--14 16 $Bewusstsein(c) \to (Tod(c) \to Auferstehung(c))$ $\to$-Einführung 1--15 17 $\forall c(Bewusstsein(c) \to (Tod(c) \to Auferstehung(c)))$ $\forall$-Einführung 16 18 $\Box\forall c(Bewusstsein(c) \to (Tod(c) \to Auferstehung(c)))$ $\Box$-Einführung 17 # Ergebnis $$\boxed{ S5+SP \vdash \Box\forall x\, Tr(x) }$$ $$\boxed{ S5+SP+U \vdash \Box\forall c(Bewusstsein(c) \to (Tod(c) \to Auferstehung(c))) }$$ # Metalogische Einordnung **Aussage** **Status** -------------------------------- ---------------------------------------- Trinität folgt aus S5+SP $\checkmark$ formal bewiesen Auferstehung folgt aus S5+SP+U $\checkmark$ formal bewiesen Widerspruchsfreiheit von S5+SP $\checkmark$ durch Modellkonstruktion Minimalität von SP $\checkmark$ SP1, SP2, SP3 hinreichend ::: center *Diese Abhandlung wurde im Geiste strenger Modallogik verfasst, jedoch in der Sprache der Philosophie -- denn die Wahrheit bedarf beider: der Präzision der Formel und der Weite des Begriffs.* :::