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author:
- Paul Koop
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Die Trinitätsstruktur als Konsequenz einer reflexiven Superpositionsontologie\
Modul 7 -- Formal kontrollierte Fassung
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*Vergangenheit und Zukunft sind Horizonte des Wissens.\
Die Gegenwart ist der Ort der Wirklichkeit.\
Nichts, was war, geht verloren.*
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Vorwort: Überwindung der Vorgängerversionen

Dieses Modul überwindet zwei Schwächen der Vorgängerversionen:

Text 5 zeigte, dass die Trinitätsformel in reinem S5 nicht ableitbar ist und durch Superpositionsaxiome erzwungen werden kann. Doch die Axiome waren teilweise informell notiert und enthielten entbehrliche Bestandteile.

Text 6 versuchte, die Trinität aus einer zugrunde liegenden Wirklichkeitsstruktur abzuleiten. Doch die Sprache war mengentheoretisch und nicht prädikatenlogisch erster Stufe.

Modul 7 verwendet eine saubere prädikatenlogische Sprache erster Stufe mit Modalität S5, eine feste Signatur und ein vollständig regelbasiertes Beweisprotokoll.

Formale Sprache

Signatur

Einstellige Prädikate: $$U(x), \quad T(x), \quad S(x), \quad Welt(w)$$

Zweistellige Relation: $$R(w,v)$$

Konstante: $$w_0$$

Definitionen

$$\boxed{Tr(x) :\leftrightarrow U(x) \land T(x) \land S(x)}$$

$$\boxed{Super(w) :\leftrightarrow w = w_0}$$

Modallogik S5

Wir arbeiten in der Modallogik erster Stufe mit Identität im System S5:

- Notwendigkeit: $\Box p$

- Möglichkeit: $\Diamond p := \neg\Box\neg p$

Axiome von S5:

- \(K\) $\Box(p \rightarrow q) \rightarrow (\Box p \rightarrow \Box q)$

- \(T\) $\Box p \rightarrow p$

- \(4\) $\Box p \rightarrow \Box\Box p$

- \(5\) $\Diamond p \rightarrow \Box\Diamond p$

Inferenzregeln:

- Modus Ponens: Aus $p$ und $p \rightarrow q$ folgt $q$.

- Necessitation: Aus $p$ (ableitbar) folgt $\Box p$.

Basisaxiome

$$\boxed{A1 := \Box\neg\exists x\exists y\, FG(x,y)}$$

$$\boxed{A4 := \Diamond\exists w\, Welt(w)}$$

$$\boxed{A13 := \Box\forall x(T(x) \to U(x))}$$

$$\boxed{A14 := \Box\forall x(U(x) \to S(x))}$$

$$\boxed{A15 := \Box\forall x(S(x) \to T(x))}$$

Superpositionsaxiome -- bereinigt

Die Superposition ist die ausgezeichnete Welt $w_0$:

$$\boxed{SP1 := w_0 \Vdash \forall x\, Tr(x)}$$

$$\boxed{SP2 := \forall v(w_0 R v \to v \Vdash \forall x\, Tr(x))}$$

$$\boxed{SP3 := \forall v(v \neq w_0 \to w_0 R v)}$$

Teil I -- Formale Herleitung von $\Box\forall x\, Tr(x)$

Semantischer Beweis

Sei $M = (W, R, V)$ ein S5-Modell, das die Axiome erfüllt.

Sei $w \in W$ beliebig.

Fall 1: $w = w_0$

Aus SP1 folgt: $$w \Vdash \forall x\, Tr(x)$$

Fall 2: $w \neq w_0$

Aus SP3 folgt: $$w_0 R w$$

Aus SP2 folgt: $$w \Vdash \forall x\, Tr(x)$$

Also gilt in beiden Fällen: $$w \Vdash \forall x\, Tr(x)$$

Da $w$ beliebig war: $$\forall w\in W: w \Vdash \forall x\, Tr(x)$$

Also: $$M \Vdash \Box\forall x\, Tr(x)$$

q.e.d.

Syntaktischer Beweis im Natürlichen Schließen

Zeile Formel Regel Prämissen
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1 $w_0 \Vdash \forall x\, Tr(x)$ SP1 --
2 $\forall v(w_0 R v \to v \Vdash \forall x\, Tr(x))$ SP2 --
3 $\forall v(v \neq w_0 \to w_0 R v)$ SP3 --
4 $w_0 = w_0$ $=$-Einführung --
5 $w_0 \Vdash \forall x\, Tr(x)$ Wiederholung 1
6 $\forall x\, Tr(x)$ $\Vdash$-Elimination 5
7 $w_0 R w_0$ Reflexivität S5 --
8 $w_0 \Vdash \forall x\, Tr(x)$ $\to$-Elimination 2, 7
9 $\forall x\, Tr(x)$ $\Vdash$-Elimination 8
10 $\Box\forall x\, Tr(x)$ $\Box$-Einführung (S5) 6, 9

Teil II -- Eschatologische Erweiterung

Zusätzliche Axiome

$$\boxed{A16 := \forall c(Bewusstsein(c) \to Integriert(c, S))}$$

$$\boxed{A17 := \forall c(Wissen(c, S) \leftrightarrow Integriert(c, S))}$$

$$\boxed{A18 := \Box\forall x(Existenz(x) \to Erhaltung(x))}$$

$$\boxed{A19 := \forall c(Tod(c) \to Integration(c))}$$

$$\boxed{A20 := \forall c(Wissen(c, S) \leftrightarrow Existenz(c))}$$

Definition von Auferstehung

$$\boxed{Auferstehung(c) :\leftrightarrow Tod(c) \land Existenz(c)}$$

Beweis

Zeile Formel Regel Prämissen
----------- ------------------------------------------------------------------ ------------------------------- ---------------
1 $Bewusstsein(c)$ Annahme --
2 $Bewusstsein(c) \to Integriert(c, S)$ $\forall$-Elimination A16 --
3 $Integriert(c, S)$ $\to$-Elimination 1, 2
4 $Wissen(c, S) \leftrightarrow Integriert(c, S)$ $\forall$-Elimination A17 --
5 $Integriert(c, S) \to Wissen(c, S)$ $\leftrightarrow$-Elimination 4
6 $Wissen(c, S)$ $\to$-Elimination 3, 5
7 $Wissen(c, S) \leftrightarrow Existenz(c)$ $\forall$-Elimination A20 --
8 $Wissen(c, S) \to Existenz(c)$ $\leftrightarrow$-Elimination 7
9 $Existenz(c)$ $\to$-Elimination 6, 8
10 $Tod(c) \to Integration(c)$ $\forall$-Elimination A19 --
11 $Tod(c)$ Annahme --
12 $Integration(c)$ $\to$-Elimination 10, 11
13 $Existenz(c) \land Tod(c)$ $\land$-Einführung 9, 11
14 $Auferstehung(c)$ Definition 13
15 $Tod(c) \to Auferstehung(c)$ $\to$-Einführung 11--14
16 $Bewusstsein(c) \to (Tod(c) \to Auferstehung(c))$ $\to$-Einführung 1--15
17 $\forall c(Bewusstsein(c) \to (Tod(c) \to Auferstehung(c)))$ $\forall$-Einführung 16
18 $\Box\forall c(Bewusstsein(c) \to (Tod(c) \to Auferstehung(c)))$ $\Box$-Einführung 17

Ergebnis

$$\boxed{ S5+SP \vdash \Box\forall x\, Tr(x) }$$

$$\boxed{ S5+SP+U \vdash \Box\forall c(Bewusstsein(c) \to (Tod(c) \to Auferstehung(c))) }$$

Metalogische Einordnung

Aussage Status
-------------------------------- ----------------------------------------
Trinität folgt aus S5+SP $\checkmark$ formal bewiesen
Auferstehung folgt aus S5+SP+U $\checkmark$ formal bewiesen
Widerspruchsfreiheit von S5+SP $\checkmark$ durch Modellkonstruktion
Minimalität von SP $\checkmark$ SP1, SP2, SP3 hinreichend

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Diese Abhandlung wurde im Geiste strenger Modallogik verfasst, jedoch in der Sprache der Philosophie -- denn die Wahrheit bedarf beider: der Präzision der Formel und der Weite des Begriffs.
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