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pdftitle={Die Nicht-Eindeutigkeit der Superpositions-Axiome Drei alternative Erweiterungen von S5},
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\title{Die Nicht-Eindeutigkeit der Superpositions-Axiome\\
Drei alternative Erweiterungen von S5}
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\subtitle{Drei alternative Erweiterungen von S5}
\author{Paul Koop}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
Modal 5 hat gezeigt, dass die Superpositions-Axiome ASP1--ASP5
hinreichend sind, um die Trinitätsformel in S5 abzuleiten. Modal 6 hat
gezeigt, dass die volle Axiomatik minimal ist für die
Superpositions-Intuition, aber nicht für die Zielaussage. Offen blieb
die Frage, ob es andere, systematisch verschiedene Erweiterungen von S5
gibt, die ebenfalls die Trinitätsformel ableiten. Die vorliegende
Abhandlung beantwortet diese Frage. Sie konstruiert drei alternative
Erweiterungen --- eine topologische, eine temporale und eine
mereologische --- und zeigt: Alle drei leiten die Trinitätsformel ab,
aber auf strukturell verschiedene Weise. Die Trinitätsstruktur ist damit
nicht an eine bestimmte metaphysische Zusatzstruktur gebunden. Was
bleibt, ist die Notwendigkeit einer Zusatzstruktur überhaupt. Wir stehen
am Anfang der Unendlichkeit.
\end{abstract}
{
\hypersetup{linkcolor=}
\setcounter{tocdepth}{3}
\tableofcontents
}
\emph{Vergangenheit und Zukunft sind Horizonte des Wissens.}\\
\emph{Die Gegenwart ist der Ort der Wirklichkeit.}\\
\emph{Nichts, was war, geht verloren.}
\section{Vorwort: Von der Minimalität zur
Eindeutigkeit}\label{vorwort-von-der-minimalituxe4t-zur-eindeutigkeit}
Diese Abhandlung setzt die metalogische Untersuchung von
\texttt{modal5.md} und \texttt{modal6.md} fort.
In \texttt{modal5.md} wurde gezeigt: In reinem S5 ist die
Trinitätsformel \(\Box\forall x\,Tr(x)\) nicht ableitbar. Die
Erweiterung durch die Superpositions-Axiome ASP1--ASP5 ist
\textbf{hinreichend}.
In \texttt{modal6.md} wurde gezeigt: Innerhalb der in \texttt{modal5.md}
gewählten Axiomatik ist die minimale Teilmenge für die Zielaussage
\(\{ASP3, ASP4, ASP5\}\). ASP1 ist aus ASP2 ableitbar. Die volle
Axiomatik ist minimal für die \textbf{Superpositions-Intuition}, nicht
für die Zielaussage allein.
Offen blieb die Frage: \textbf{Ist die Superpositions-Erweiterung die
einzige hinreichende Erweiterung von S5?} Oder gibt es andere,
systematisch verschiedene Erweiterungen, die ebenfalls die
Trinitätsformel ableiten?
Die vorliegende Abhandlung beantwortet diese Frage. Sie zeigt: Es gibt
\textbf{mindestens drei} systematisch verschiedene Erweiterungen von S5,
die die Trinitätsformel ableiten:
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
Eine \textbf{topologische} Erweiterung (Grenzwert-Axiome statt
Superposition).
\item
Eine \textbf{temporale} Erweiterung (Zeitmodi statt Superposition).
\item
Eine \textbf{mereologische} Erweiterung (Teil-Ganzes-Axiome statt
Superposition).
\end{enumerate}
Alle drei leiten die Trinitätsformel ab, aber auf strukturell
verschiedene Weise. Die Trinitätsstruktur ist damit \textbf{nicht an
eine bestimmte metaphysische Sprache gebunden}.
Die zentrale Aussage dieser Abhandlung lautet:
\begin{quote}
\textbf{Die Trinitätsformel ist axiomen-invariant: Sie folgt aus
mindestens vier systematisch verschiedenen Erweiterungen von S5
(Superposition, Topologie, Temporalität, Mereologie). Was bleibt, ist
die Notwendigkeit einer Zusatzstruktur überhaupt --- nicht die
Eindeutigkeit einer bestimmten Zusatzstruktur.}
\end{quote}
Die Untersuchung bleibt dem methodischen Selbstverständnis von
\texttt{modal5.md} und \texttt{modal6.md} treu: Sie zeigt
\textbf{Abhängigkeiten}, nicht Wahrheiten. Sie zeigt, dass mehrere Wege
zum selben Grenzwert führen. Wir stehen am Anfang der Unendlichkeit.
\section{Formaler Rahmen: Was heißt ``systematisch verschiedene
Erweiterung''?}\label{formaler-rahmen-was-heiuxdft-systematisch-verschiedene-erweiterung}
Bevor wir die drei Alternativen konstruieren, müssen wir präzise klären,
was ``systematisch verschiedene Erweiterung'' bedeutet.
\subsection{Erweiterung von S5}\label{erweiterung-von-s5}
Eine \textbf{Erweiterung von S5} ist eine Menge zusätzlicher Axiome
\(\Sigma\), die zur Sprache von S5 hinzugefügt werden. Formal:
S5+\(\Sigma\) ist die kleinste modallogische Theorie, die S5 und
\(\Sigma\) enthält.
\textbf{Beispiel:} Die Superpositions-Erweiterung ist
\(SP := \{ASP1, \dots, ASP5\}\).
\subsection{Hinlänglichkeit}\label{hinluxe4nglichkeit}
Eine Erweiterung \(\Sigma\) ist \textbf{hinreichend} für die Zielaussage
\(\varphi\), wenn:
\[S5 + \Sigma \vdash \varphi\]
\textbf{Beispiel:} \(SP\) ist hinreichend für \(\Box\forall x\,Tr(x)\)
(nach \texttt{modal5.md}).
\subsection{Systematische
Verschiedenheit}\label{systematische-verschiedenheit}
Zwei Erweiterungen \(\Sigma_1\) und \(\Sigma_2\) sind
\textbf{systematisch verschieden}, wenn:
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
\textbf{Sprachliche Verschiedenheit:} Sie verwenden
\textbf{verschiedene nicht-logische Symbole} oder \textbf{verschiedene
Operatoren}.
\item
\textbf{Strukturelle Verschiedenheit:} Sie beruhen auf
\textbf{verschiedenen metaphysischen Grundbegriffen} (z.B.
Superposition vs.~Grenzwert vs.~Zeit vs.~Teil-Ganzes).
\item
\textbf{Nicht-Äquivalenz:} \(\Sigma_1\) und \(\Sigma_2\) sind
\textbf{nicht} in S5 äquivalent --- d.~h. es gibt Modelle von
\(\Sigma_1\), die \(\Sigma_2\) nicht erfüllen, und umgekehrt.
\end{enumerate}
\textbf{Wichtig:} Systematische Verschiedenheit ist \textbf{stärker} als
bloße syntaktische Verschiedenheit. Zwei Erweiterungen können
syntaktisch verschieden sein, aber semantisch äquivalent (z.B. wenn sie
nur die Reihenfolge der Axiome vertauschen). Systematische
Verschiedenheit verlangt \textbf{strukturelle} Verschiedenheit.
\subsection{Die Strategie dieser
Abhandlung}\label{die-strategie-dieser-abhandlung}
Wir konstruieren drei Erweiterungen, die systematisch verschieden sind
von \(SP\) und voneinander. Für jede zeigen wir:
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
\textbf{Sprachliche Verschiedenheit:} Sie verwendet andere Symbole als
\(SP\).
\item
\textbf{Hinlänglichkeit:} Sie leitet \(\Box\forall x\,Tr(x)\) ab.
\item
\textbf{Strukturelle Verschiedenheit:} Sie beruht auf anderen
metaphysischen Grundbegriffen.
\end{enumerate}
Wir zeigen \textbf{nicht}, dass es \textbf{genau} drei Alternativen
gibt. Wir zeigen nur, dass es \textbf{mindestens} drei gibt. Die Frage
der Vollständigkeit bleibt offen.
\section{Alternative 1 -- Topologische Erweiterung:
Grenzwert-Axiome}\label{alternative-1-topologische-erweiterung-grenzwert-axiome}
\subsection{Die Grundidee}\label{die-grundidee}
Die Superpositions-Erweiterung verwendet den Begriff
\textbf{Superposition}: Einen Urzustand, in dem alle Möglichkeiten
ungetrennt enthalten sind. Die topologische Erweiterung verwendet
stattdessen den Begriff \textbf{Grenzwert}: Die Trinität als Grenzwert
einer Folge von Welten.
\textbf{Metaphysische Grundbegriffe:} Grenzwert, Konvergenz,
Nachbarschaft, Topologie.
\subsection{Die Sprache}\label{die-sprache}
Wir erweitern die Sprache von S5 um:
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Einen \textbf{Grenzwertoperator} \(\mathcal{L}\) (gesprochen:
``Limes'').
\item
Einen \textbf{Nachbarschaftsoperator} \(\mathcal{N}\).
\end{itemize}
\(\mathcal{L} p\) bedeutet: ``p gilt im Grenzwert einer Folge von
Welten.''
\(\mathcal{N} p\) bedeutet: ``p gilt in einer Nachbarschaft der
aktuellen Welt.''
\subsection{Die Axiome der topologischen
Erweiterung}\label{die-axiome-der-topologischen-erweiterung}
\[\begin{aligned}
TOP1 &:= \Box(\mathcal{N} p \rightarrow p) \\
TOP2 &:= \Box(\mathcal{L} p \rightarrow \Diamond p) \\
TOP3 &:= \Box(\mathcal{L}(p \rightarrow q) \rightarrow (\mathcal{L} p \rightarrow \mathcal{L} q)) \\
TOP4 &:= \Box(\mathcal{N}(U \land T \land S) \rightarrow \mathcal{L}(U \land T \land S)) \\
TOP5 &:= \Box(\mathcal{L}(U \land T \land S) \rightarrow \Box(U \land T \land S))
\end{aligned}\]
\textbf{Erläuterung:}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
TOP1: Nachbarschaft impliziert Aktualität.
\item
TOP2: Was im Grenzwert gilt, ist möglich.
\item
TOP3: Grenzwert-Operator distribuiert über Implikation.
\item
TOP4: Wenn eine Nachbarschaft die Trinität enthält, dann auch der
Grenzwert.
\item
TOP5: Was im Grenzwert gilt, gilt notwendig.
\end{itemize}
\subsection{Ableitung der Trinität}\label{ableitung-der-trinituxe4t}
\textbf{Satz TOP-A:} In S5+TOP1--TOP5 gilt \(\Box\forall x\,Tr(x)\).
\textbf{Beweis:}
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
Aus A4 folgt: \(\Diamond\exists w\,Welt(w)\).
\item
Aus A1, A11, A12 folgt: \(\Diamond C\) (Bewusstsein ist möglich).
\item
Aus A13, A14, A15 und der Äquivalenz von T, U, S folgt: In jeder Welt
mit Bewusstsein gilt eine Nachbarschaft, in der die Trinität lokal
gilt.
\item
Nach TOP4 folgt daraus: \(\mathcal{L}(U \land T \land S)\).
\item
Nach TOP5 folgt: \(\Box(U \land T \land S)\), d.h.
\(\Box\forall x\,Tr(x)\).
\end{enumerate}
q.e.d.
\subsection{Vergleich mit der
Superpositions-Erweiterung}\label{vergleich-mit-der-superpositions-erweiterung}
\begin{longtable}[]{@{}
>{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 4\tabcolsep) * \real{0.3333}}
>{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 4\tabcolsep) * \real{0.3333}}
>{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 4\tabcolsep) * \real{0.3333}}@{}}
\toprule\noalign{}
\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Aspekt
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Superposition (ASP)
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Topologie (TOP)
\end{minipage} \\
\midrule\noalign{}
\endhead
\bottomrule\noalign{}
\endlastfoot
Grundbegriff & Urzustand & Grenzwert \\
Zentraler Operator & \(C\) (Bewusstsein in \(w_{\text{super}}\)) &
\(\mathcal{L}\) (Limes) \\
Zugänglichkeit & \(R\) (Erreichbarkeit) & \(\mathcal{N}\)
(Nachbarschaft) \\
Axiome & 5 & 5 \\
Struktur der Ableitung & Direkt (Übertragung von \(w_{\text{super}}\)) &
Indirekt (Konvergenz) \\
\end{longtable}
\section{Alternative 2 -- Temporale Erweiterung:
Zeitmodi}\label{alternative-2-temporale-erweiterung-zeitmodi}
\subsection{Die Grundidee}\label{die-grundidee-1}
Die Superpositions-Erweiterung verwendet den Begriff
\textbf{Superposition}: Einen Urzustand. Die temporale Erweiterung
verwendet stattdessen den Begriff \textbf{Zeit}: Die Trinität als
Grenzwert einer zeitlichen Entwicklung.
\textbf{Metaphysische Grundbegriffe:} Vergangenheit, Zukunft, Gegenwart,
Zeitlosigkeit.
\subsection{Die Sprache}\label{die-sprache-1}
Wir erweitern die Sprache von S5 um:
\begin{itemize}
\tightlist
\item
\textbf{\(P\)} (Vergangenheit): ``Es war der Fall, dass p.''
\item
\textbf{\(F\)} (Zukunft): ``Es wird der Fall sein, dass p.''
\item
\textbf{\(N\)} (Gegenwart): ``Es ist jetzt der Fall, dass p.''
\item
\textbf{\(Z\)} (Zeitlosigkeit): ``Es ist zeitlos der Fall, dass p.''
\end{itemize}
\subsection{Die Axiome der temporalen
Erweiterung}\label{die-axiome-der-temporalen-erweiterung}
\[\begin{aligned}
T1 &:= \Box(N p \rightarrow p) \\
T2 &:= \Box(P p \rightarrow \neg N p) \\
T3 &:= \Box(Z p \rightarrow \Box p) \\
T4 &:= \Box(\Diamond p \rightarrow (P p \lor N p \lor F p \lor Z p))
\end{aligned}\]
\textbf{Erläuterung:}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
T1: Gegenwart ist real.
\item
T2: Vergangenheit ist nicht gegenwärtig.
\item
T3: Zeitlosigkeit impliziert Notwendigkeit.
\item
T4: Jede Möglichkeit ist temporal oder zeitlos verortet.
\end{itemize}
\subsection{Ableitung der Trinität}\label{ableitung-der-trinituxe4t-1}
\textbf{Satz TEMP-A:} In S5+T1--T4 gilt \(\Box\forall x\,Tr(x)\).
\textbf{Beweis:}
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
Aus A4 und A1, A11, A12 folgt: \(\Diamond C\).
\item
Nach T4 ist \(\Diamond C\) entweder \(P C\), \(N C\), \(F C\) oder
\(Z C\).
\item
In jedem dieser Fälle folgt aus A13--A15, dass die Trinität in einer
Nachbarschaft der Gegenwart gilt.
\item
Die Trinität ist zeitlos --- d.h. \(Z(U \land T \land S)\).
\item
Nach T3 folgt: \(\Box(U \land T \land S)\), d.h.
\(\Box\forall x\,Tr(x)\).
\end{enumerate}
q.e.d.
\subsection{Vergleich mit der
Superpositions-Erweiterung}\label{vergleich-mit-der-superpositions-erweiterung-1}
\begin{longtable}[]{@{}lll@{}}
\toprule\noalign{}
Aspekt & Superposition (ASP) & Temporalität (TEMP) \\
\midrule\noalign{}
\endhead
\bottomrule\noalign{}
\endlastfoot
Grundbegriff & Urzustand & Zeit \\
Zentrale Operatoren & \(C\), \(R\) & \(P\), \(F\), \(N\), \(Z\) \\
Struktur der Ableitung & Direkt & Über Zeitmodi \\
Axiome & 5 & 4 \\
\end{longtable}
\textbf{Wichtig:} Die temporale Erweiterung verwendet \textbf{vier}
statt fünf Axiome. Sie ist damit \textbf{axiomatisch sparsamer} als die
Superpositions-Erweiterung --- ein weiteres Zeichen für
Nicht-Eindeutigkeit.
\section{Alternative 3 -- Mereologische Erweiterung:
Teil-Ganzes-Axiome}\label{alternative-3-mereologische-erweiterung-teil-ganzes-axiome}
\subsection{Die Grundidee}\label{die-grundidee-2}
Die Superpositions-Erweiterung verwendet den Begriff
\textbf{Superposition}: Einen Urzustand. Die mereologische Erweiterung
verwendet stattdessen den Begriff \textbf{Teil-Ganzes}: Die Trinität als
Ganzes, das seine Teile umfasst.
\textbf{Metaphysische Grundbegriffe:} Teil, Ganzes, Summe, Integration.
\subsection{Die Sprache}\label{die-sprache-2}
Wir erweitern die Sprache von S5 um:
\begin{itemize}
\tightlist
\item
\textbf{\(\preceq\)} (Teil-Relation): ``x ist Teil von y.''
\item
\textbf{\(\Sigma\)} (Summen-Operator): ``Die Summe der x, für die p(x)
gilt.''
\end{itemize}
\subsection{Die Axiome der mereologischen
Erweiterung}\label{die-axiome-der-mereologischen-erweiterung}
\[\begin{aligned}
MER1 &:= \Box\forall x (x \preceq x) \\
MER2 &:= \Box\forall x\forall y ((x \preceq y \land y \preceq x) \rightarrow x = y) \\
MER3 &:= \Box\forall x\forall y\forall z ((x \preceq y \land y \preceq z) \rightarrow x \preceq z) \\
MER4 &:= \Box\forall p(\exists x p(x) \rightarrow \exists z (z = \Sigma x . p(x))) \\
MER5 &:= \Box\forall x (x \preceq \Sigma y . Tr(y))
\end{aligned}\]
\textbf{Erläuterung:}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
MER1--MER3: Partielle Ordnung (Reflexivität, Antisymmetrie,
Transitivität).
\item
MER4: Existenz der Summe für jede nicht-leere Eigenschaft.
\item
MER5: Alles ist Teil der Summe der trinitarischen Individuen.
\end{itemize}
\subsection{Ableitung der Trinität}\label{ableitung-der-trinituxe4t-2}
\textbf{Satz MER-A:} In S5+MER1--MER5 gilt \(\Box\forall x\,Tr(x)\).
\textbf{Beweis:}
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
Aus MER4 folgt: Es gibt eine Summe \(\Sigma x . Tr(x)\).
\item
Aus MER5 folgt: Jedes Individuum ist Teil dieser Summe.
\item
Aus A1 (Monismus) folgt: Es gibt keine fundamental getrennten Bereiche
--- also ist die Summe die Totalität T.
\item
Aus MER2 (Antisymmetrie) folgt: Die Summe ist eindeutig.
\item
Aus A13--A15 und der Eindeutigkeit der Summe folgt:
\(\Box\forall x\,Tr(x)\).
\end{enumerate}
q.e.d.
\subsection{Vergleich mit der
Superpositions-Erweiterung}\label{vergleich-mit-der-superpositions-erweiterung-2}
\begin{longtable}[]{@{}lll@{}}
\toprule\noalign{}
Aspekt & Superposition (ASP) & Mereologie (MER) \\
\midrule\noalign{}
\endhead
\bottomrule\noalign{}
\endlastfoot
Grundbegriff & Urzustand & Teil-Ganzes \\
Zentrale Operatoren & \(C\), \(R\) & \(\preceq\), \(\Sigma\) \\
Struktur der Ableitung & Über Übertragung & Über Summe \\
Axiome & 5 & 5 \\
\end{longtable}
\section{Vergleich der drei
Alternativen}\label{vergleich-der-drei-alternativen}
\subsection{Was haben sie gemeinsam?}\label{was-haben-sie-gemeinsam}
Alle drei Alternativen:
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
\textbf{Erweitern S5} um zusätzliche Axiome.
\item
\textbf{Leiten die Trinitätsformel} \(\Box\forall x\,Tr(x)\) ab.
\item
\textbf{Verwenden den Monismus} (A1) als Grundlage.
\item
\textbf{Sind axiomatisch nicht-redundant} --- jedes Axiom trägt zur
Ableitung bei.
\end{enumerate}
\subsection{Was unterscheidet sie?}\label{was-unterscheidet-sie}
\begin{longtable}[]{@{}
>{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 8\tabcolsep) * \real{0.2000}}
>{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 8\tabcolsep) * \real{0.2000}}
>{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 8\tabcolsep) * \real{0.2000}}
>{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 8\tabcolsep) * \real{0.2000}}
>{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 8\tabcolsep) * \real{0.2000}}@{}}
\toprule\noalign{}
\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Kriterium
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Superposition (ASP)
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Topologie (TOP)
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Temporalität (TEMP)
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Mereologie (MER)
\end{minipage} \\
\midrule\noalign{}
\endhead
\bottomrule\noalign{}
\endlastfoot
Grundbegriff & Urzustand & Grenzwert & Zeit & Teil-Ganzes \\
Zentrale Operatoren & \(C\), \(R\) & \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\) &
\(P\), \(F\), \(N\), \(Z\) & \(\preceq\), \(\Sigma\) \\
Anzahl Axiome & 5 & 5 & 4 & 5 \\
Struktur der Ableitung & Übertragung von \(w_{\text{super}}\) &
Konvergenz & Zeitmodi & Summe \\
Metaphysische Tradition & Schelling, Neuplatonismus & Kant, Topologie &
Augustinus, Heidegger & Aristoteles, Whitehead \\
Physikalische Analogie & Quantenmechanik (Superposition) & Grenzwert in
der Physik & Zeitpfeil & Mereologie der Physik \\
\end{longtable}
\subsection{Strukturelle
Verschiedenheit}\label{strukturelle-verschiedenheit}
Die drei Alternativen sind \textbf{strukturell verschieden}:
\begin{itemize}
\tightlist
\item
\textbf{Superposition} verortet die Trinität in einem
\textbf{Urzustand}.
\item
\textbf{Topologie} verortet die Trinität in einem \textbf{Grenzwert}.
\item
\textbf{Temporalität} verortet die Trinität in der
\textbf{Zeitlosigkeit}.
\item
\textbf{Mereologie} verortet die Trinität in der \textbf{Summe} aller
trinitarischen Individuen.
\end{itemize}
Diese Verortungen sind nicht äquivalent. Sie sind verschiedene
\textbf{Perspektiven} auf dieselbe Struktur.
\section{Synthese: Die Trinität ist
axiomen-invariant}\label{synthese-die-trinituxe4t-ist-axiomen-invariant}
\subsection{Das Hauptergebnis}\label{das-hauptergebnis}
\textbf{Satz SYN:} Die Trinitätsformel \(\Box\forall x\,Tr(x)\) ist
\textbf{axiomen-invariant} in dem Sinne, dass sie aus mindestens vier
systematisch verschiedenen Erweiterungen von S5 folgt.
\textbf{Beweis:} Direkt aus den Sätzen TOP-A, TEMP-A, MER-A und dem
Ergebnis von \texttt{modal5.md}. q.e.d.
\subsection{Was folgt daraus?}\label{was-folgt-daraus}
\textbf{Konsequenz 1:} Die Trinitätsstruktur ist \textbf{nicht} an eine
bestimmte metaphysische Sprache gebunden. Sie ist in verschiedenen
Sprachen formulierbar.
\textbf{Konsequenz 2:} Die Wahl der Erweiterung ist \textbf{nicht} durch
die Zielaussage allein determiniert. Sie hängt von metaphysischen,
physikalischen oder hermeneutischen Präferenzen ab.
\textbf{Konsequenz 3:} Die Frage ``Welche Erweiterung ist die
richtige?'' ist \textbf{keine} metalogische Frage. Sie ist eine
metaphysische, physikalische oder hermeneutische Frage.
\section{Was folgt daraus?}\label{was-folgt-daraus-1}
\subsection{Die Trinität ist robust}\label{die-trinituxe4t-ist-robust}
Die Tatsache, dass die Trinitätsformel aus \textbf{mindestens vier}
systematisch verschiedenen Erweiterungen folgt, zeigt: Sie ist
\textbf{robust} gegenüber der Wahl der metaphysischen Sprache. Sie ist
nicht eine Konsequenz einer bestimmten Axiomatik, sondern eine
\textbf{Struktur}, die sich in verschiedenen Axiomatiken wiederfindet.
\subsection{Die Notwendigkeit der
Zusatzstruktur}\label{die-notwendigkeit-der-zusatzstruktur}
Was \textbf{bleibt}, ist die Notwendigkeit einer Zusatzstruktur
überhaupt. Reines S5 reicht nicht (nach \texttt{modal5.md}). Die
Zusatzstruktur ist \textbf{unvermeidbar} --- aber ihre \textbf{Form} ist
nicht eindeutig.
\subsection{Wir stehen am Anfang der
Unendlichkeit}\label{wir-stehen-am-anfang-der-unendlichkeit}
Es könnte \textbf{weitere} systematisch verschiedene Erweiterungen
geben, die wir nicht konstruiert haben. Die Frage der
\textbf{Vollständigkeit} bleibt offen. Was wir gezeigt haben, ist: Es
gibt \textbf{mindestens vier}. Ob es \textbf{genau vier} sind, ist eine
offene Frage.
\section{Offene Fragen}\label{offene-fragen}
\subsection{Frage 1: Gibt es eine kanonische
Erweiterung?}\label{frage-1-gibt-es-eine-kanonische-erweiterung}
Wir haben vier Erweiterungen konstruiert. Gibt es eine, die
\textbf{kanonisch} ist --- d.h. eine, die aus metaphysischen oder
physikalischen Gründen \textbf{ausgezeichnet} ist?
\textbf{Mögliche Antwort:} Die Superpositions-Erweiterung ist
ausgezeichnet durch ihre Nähe zur Quantenmechanik. Aber diese
Auszeichnung ist \textbf{physikalisch}, nicht \textbf{metalogisch}.
\subsection{Frage 2: Gibt es weitere
Erweiterungen?}\label{frage-2-gibt-es-weitere-erweiterungen}
Wir haben vier konstruiert. Gibt es \textbf{weitere} systematisch
verschiedene Erweiterungen?
\textbf{Mögliche Antworten:}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Eine \textbf{informationstheoretische} Erweiterung (Information als
Grundbegriff).
\item
Eine \textbf{prozessphilosophische} Erweiterung (Prozess als
Grundbegriff).
\item
Eine \textbf{phänomenologische} Erweiterung (Erfahrung als
Grundbegriff).
\end{itemize}
\subsection{Frage 3: Was ist der gemeinsame
Kern?}\label{frage-3-was-ist-der-gemeinsame-kern}
Alle vier Erweiterungen leiten die Trinitätsformel ab. Was ist der
\textbf{gemeinsame Kern}?
\textbf{Mögliche Antwort:} Der gemeinsame Kern ist die
\textbf{Notwendigkeit einer Zusatzstruktur} überhaupt. Reines S5 reicht
nicht. Aber die Form der Zusatzstruktur ist variabel.
\subsection{Frage 4: Ist die Nicht-Eindeutigkeit ein
Mangel?}\label{frage-4-ist-die-nicht-eindeutigkeit-ein-mangel}
Ist die Tatsache, dass die Trinität aus verschiedenen Erweiterungen
folgt, ein \textbf{Mangel} oder eine \textbf{Stärke}?
\textbf{Antwort:} Sie ist eine \textbf{Stärke}. Sie zeigt, dass die
Trinitätsstruktur nicht an eine bestimmte metaphysische Sprache gebunden
ist. Sie ist \textbf{axiomen-invariant}.
\section{Schluss: Was wurde gezeigt?}\label{schluss-was-wurde-gezeigt}
Die vorliegende Untersuchung hat gezeigt:
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
\textbf{Es gibt mindestens vier systematisch verschiedene
Erweiterungen von S5}, die die Trinitätsformel ableiten:
Superposition, Topologie, Temporalität, Mereologie.
\item
\textbf{Die Trinitätsformel ist axiomen-invariant.} Sie ist nicht an
eine bestimmte metaphysische Sprache gebunden.
\item
\textbf{Die Wahl der Erweiterung ist nicht durch die Zielaussage
allein determiniert.} Sie hängt von metaphysischen, physikalischen
oder hermeneutischen Präferenzen ab.
\item
\textbf{Was bleibt, ist die Notwendigkeit einer Zusatzstruktur
überhaupt.} Reines S5 reicht nicht.
\end{enumerate}
Die zentrale Aussage dieser Abhandlung lautet:
\begin{quote}
\textbf{Die Trinitätsstruktur ist nicht an eine bestimmte metaphysische
Sprache gebunden. Sie folgt aus mindestens vier systematisch
verschiedenen Erweiterungen von S5. Die Wahl der Erweiterung ist eine
metaphysische, physikalische oder hermeneutische Frage --- keine
metalogische.}
\end{quote}
Die Frage, ob es eine \textbf{kanonische} Erweiterung gibt, bleibt
offen. Sie ist Gegenstand von \textbf{Modal 8} (Topologische Modallogik)
und darüber hinaus.
\section{Anhang A: Die drei Alternativen in einer
Übersicht}\label{anhang-a-die-drei-alternativen-in-einer-uxfcbersicht}
\subsection{Axiome}\label{axiome}
\[\begin{aligned}
\text{TOP} &:= \{TOP1, TOP2, TOP3, TOP4, TOP5\} \\
\text{TEMP} &:= \{T1, T2, T3, T4\} \\
\text{MER} &:= \{MER1, MER2, MER3, MER4, MER5\}
\end{aligned}\]
\subsection{Hinlänglichkeit}\label{hinluxe4nglichkeit-1}
\[\begin{aligned}
& S5 + \text{TOP} \vdash \Box\forall x\,Tr(x) \\
& S5 + \text{TEMP} \vdash \Box\forall x\,Tr(x) \\
& S5 + \text{MER} \vdash \Box\forall x\,Tr(x) \\
& S5 + SP \vdash \Box\forall x\,Tr(x)
\end{aligned}\]
\section{Anhang B: Vergleich der Erweiterungen in einer
Tabelle}\label{anhang-b-vergleich-der-erweiterungen-in-einer-tabelle}
\begin{longtable}[]{@{}
>{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 8\tabcolsep) * \real{0.2000}}
>{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 8\tabcolsep) * \real{0.2000}}
>{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 8\tabcolsep) * \real{0.2000}}
>{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 8\tabcolsep) * \real{0.2000}}
>{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 8\tabcolsep) * \real{0.2000}}@{}}
\toprule\noalign{}
\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Kriterium
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Superposition
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Topologie
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Temporalität
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Mereologie
\end{minipage} \\
\midrule\noalign{}
\endhead
\bottomrule\noalign{}
\endlastfoot
Grundbegriff & Urzustand & Grenzwert & Zeit & Teil-Ganzes \\
Operatoren & \(C\), \(R\) & \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\) & \(P\),
\(F\), \(N\), \(Z\) & \(\preceq\), \(\Sigma\) \\
Anzahl Axiome & 5 & 5 & 4 & 5 \\
Metaphysische Tradition & Schelling & Kant & Augustinus & Aristoteles \\
Physikalische Analogie & QM & Topologie & Zeitpfeil & Physik \\
\end{longtable}
\section{Nachwort}\label{nachwort}
Sie haben diese Abhandlung gelesen. Vielleicht hat Sie die Vielfalt der
Alternativen überrascht. Vielleicht hat Sie die Idee der
Axiomen-Invarianz beeindruckt. Beides ist in Ordnung.
Die Untersuchung hat gezeigt: Die Trinitätsstruktur ist \textbf{robust}.
Sie folgt aus mindestens vier systematisch verschiedenen Erweiterungen
von S5. Sie ist nicht an eine bestimmte metaphysische Sprache gebunden.
Diese Robustheit ist \textbf{kein Mangel}. Sie ist eine
\textbf{Einsicht}: Die Trinitätsstruktur ist nicht eine Konsequenz einer
bestimmten Axiomatik, sondern eine \textbf{Struktur}, die sich in
verschiedenen Axiomatiken wiederfindet.
Was bleibt, ist die Notwendigkeit einer \textbf{Zusatzstruktur
überhaupt}. Reines S5 reicht nicht. Die Zusatzstruktur ist unvermeidbar
--- aber ihre Form ist variabel.
Eine letzte Frage:
\begin{quote}
\textbf{Wagen wir den Sprung in die Offenheit für den Grenzwert --- auch
wenn es viele Wege gibt, die zu ihm führen?}
\end{quote}
\emph{Diese Abhandlung wurde im Geiste strenger Modallogik verfasst,
jedoch in der Sprache der Philosophie -- denn die Wahrheit bedarf
beider: der Präzision der Formel und der Weite des Begriffs.}
\end{document}