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pdftitle={Die Trinität als Grenzwert Topologische Modallogik der monistischen Struktur},
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\title{Die Trinität als Grenzwert\\
Topologische Modallogik der monistischen Struktur}
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\subtitle{Topologische Modallogik der monistischen Struktur}
\author{Paul Koop}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
In modal5.md stehen die Definitionen T := \{ x \textbar{} U \textless{}
x \textless{} S \}, U := lim\_\{x → inf\} T und S := lim\_\{x → sup\} T.
Diese Definitionen sind informal. Sie verwenden einen metrischen
Grenzwertbegriff, der in der Modallogik erster Stufe nicht ohne Weiteres
verfügbar ist. Die vorliegende Abhandlung gibt dieser Rede eine präzise
modallogische Fassung. Sie erweitert S5 um einen Grenzwertoperator L mit
Nachbarschaftssemantik, definiert U := L\_inf T und S := L\_sup T und
beweist: In S5+SP+L gilt die Trinitätsformel. Die Trinität erweist sich
damit als Grenzwertstruktur, nicht als substanzieller Gegenstand. Die
Abhandlung präzisiert die Rede vom Grenzwert, sie ersetzt sie nicht.
\end{abstract}
{
\hypersetup{linkcolor=}
\setcounter{tocdepth}{3}
\tableofcontents
}
\emph{Vergangenheit und Zukunft sind Horizonte des Wissens.}\\
\emph{Die Gegenwart ist der Ort der Wirklichkeit.}\\
\emph{Nichts, was war, geht verloren.}
\section{Vorwort: Die informal gebliebene
Grenzwertdefinition}\label{vorwort-die-informal-gebliebene-grenzwertdefinition}
In \texttt{modal5.md} wird die Trinität als Grenzwertstruktur
eingeführt. Die zentralen Definitionen lauten:
\[T := \{ x \mid U < x < S \}\] \[U := \lim_{x \to \inf} T\]
\[S := \lim_{x \to \sup} T\] \[Tr := U \land T \land S\]
Diese Definitionen sind \textbf{informal}. Sie verwenden einen
\textbf{metrischen Grenzwertbegriff}, der in der Modallogik erster Stufe
nicht ohne Weiteres verfügbar ist. Der Ausdruck \(\lim_{x \to \inf} T\)
setzt eine Metrik oder mindestens eine Ordnungstopologie auf \(T\)
voraus --- beides ist in der reinen Prädikatenlogik mit Modaloperatoren
nicht selbstverständlich.
Die vorliegende Abhandlung gibt dieser Rede eine \textbf{präzise
modallogische Fassung}. Sie erweitert S5 um einen
\textbf{Grenzwertoperator} \(\mathcal{L}\) mit Nachbarschaftssemantik,
definiert \(U\) und \(S\) als Grenzwerte im Sinne dieses Operators und
beweist: In S5+SP+\(\mathcal{L}\) gilt die Trinitätsformel.
Die zentrale Aussage dieser Abhandlung lautet:
\begin{quote}
\textbf{Die Trinität war schon immer als Grenzwertstruktur gedacht. Die
Abhandlung präzisiert diese Rede, sie ersetzt sie nicht. Der
Grenzwertbegriff wird von einer metrischen in eine modallogische Sprache
übersetzt --- ohne die Substanz der ursprünglichen Intuition zu
verändern.}
\end{quote}
Die Untersuchung bleibt dem methodischen Selbstverständnis von
\texttt{modal5.md} treu: Sie zeigt eine \textbf{Formalisierung}, keine
neue metaphysische These. Was sie zeigt, ist, dass die Rede vom
Grenzwert in der Modallogik präzise gefasst werden kann.
\section{Topologische Modallogik: Eine kurze
Einführung}\label{topologische-modallogik-eine-kurze-einfuxfchrung}
\subsection{Warum Topologie?}\label{warum-topologie}
Die klassische Modallogik S5 verwendet eine
\textbf{Zugänglichkeitsrelation} \(R\) zwischen möglichen Welten. Diese
Relation ist in S5 eine Äquivalenzrelation. Sie erlaubt es, über
Notwendigkeit und Möglichkeit zu sprechen, aber sie erlaubt es
\textbf{nicht}, über \textbf{Konvergenz} oder \textbf{Grenzwerte} zu
sprechen.
Für die Rede von Grenzwerten brauchen wir eine \textbf{topologische
Struktur}. Die topologische Modallogik erweitert S5 um eine solche
Struktur.
\subsection{Nachbarschaftssemantik}\label{nachbarschaftssemantik}
Die \textbf{Nachbarschaftssemantik} (neighborhood semantics) ist eine
Verallgemeinerung der Kripke-Semantik. Statt einer
Zugänglichkeitsrelation \(R\) verwendet sie eine
\textbf{Nachbarschaftsfunktion} \(N\), die jeder Welt \(w\) eine Menge
von Mengen von Welten zuordnet:
\[N : W \to \mathcal{P}(\mathcal{P}(W))\]
\(N(w)\) ist die Menge der \textbf{Nachbarschaften} von \(w\). Eine
Nachbarschaft von \(w\) ist eine Menge von Welten, die \(w\) ``umgibt''.
\textbf{Intuition:} \(N(w)\) beschreibt, welche Mengen von Welten in der
Nähe von \(w\) liegen.
\subsection{Der
Nachbarschaftsoperator}\label{der-nachbarschaftsoperator}
Der \textbf{Nachbarschaftsoperator} \(\mathcal{N}\) wird definiert
durch:
\[\mathcal{N} p @ w \iff \{ v \mid p @ v \} \in N(w)\]
\textbf{Lesart:} ``\(\mathcal{N} p\) gilt in \(w\)'' genau dann, wenn
die Menge der Welten, in denen \(p\) gilt, eine Nachbarschaft von \(w\)
ist.
\textbf{Eigenschaften:}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
\(\mathcal{N}\) ist \textbf{nicht} normal --- es distribuiert nicht
über Implikation.
\item
\(\mathcal{N}\) erlaubt \textbf{feinere} Unterscheidungen als
\(\Box\).
\item
In S5 gilt: \(\Box p \to \mathcal{N} p\), aber nicht umgekehrt.
\end{itemize}
\subsection{Konvergenz}\label{konvergenz}
Eine \textbf{Konvergenzstruktur} auf \(W\) ist eine Familie von Filtern
\(\mathcal{F}_w\) für jede Welt \(w\). Ein \textbf{Filter} ist eine
Menge von Teilmengen von \(W\), die abgeschlossen unter endlichen
Durchschnitten und Obermengen ist.
\textbf{Intuition:} \(\mathcal{F}_w\) beschreibt, welche Mengen von
Welten ``schließlich'' in der Nähe von \(w\) liegen.
\textbf{Konvergenz:} Eine Folge von Welten \((w_n)\) konvergiert gegen
\(w\), wenn für jede Nachbarschaft \(A \in N(w)\) fast alle \(w_n\) in
\(A\) liegen.
\subsection{Grenzoperatoren}\label{grenzoperatoren}
Ein \textbf{Grenzoperator} \(\mathcal{L}\) wird definiert durch:
\[\mathcal{L} p @ w \iff \text{es gibt eine Folge } (w_n) \to w \text{ mit } p @ w_n \text{ für fast alle } n\]
\textbf{Lesart:} ``\(\mathcal{L} p\) gilt in \(w\)'' genau dann, wenn
\(p\) in fast allen Welten einer Folge gilt, die gegen \(w\)
konvergiert.
\textbf{Wichtig:} \(\mathcal{L}\) ist \textbf{kein} normaler Operator.
Er erfüllt nicht das Kripke-Axiom \(K\). Stattdessen erfüllt er
\textbf{Konvergenzaxiome}.
\section{Der Grenzwertoperator L: Definition, Axiome,
Tableau-Regeln}\label{der-grenzwertoperator-l-definition-axiome-tableau-regeln}
\subsection{Definition}\label{definition}
Wir erweitern die Sprache von S5 um einen \textbf{zweistelligen
Grenzwertoperator} \(\mathcal{L}_{\inf}\) und \(\mathcal{L}_{\sup}\):
\begin{itemize}
\tightlist
\item
\(\mathcal{L}_{\inf} p\) bedeutet: ``p gilt im unteren Grenzwert.''
\item
\(\mathcal{L}_{\sup} p\) bedeutet: ``p gilt im oberen Grenzwert.''
\end{itemize}
\textbf{Semantik:}
\[\mathcal{L}_{\inf} p @ w \iff \text{es gibt eine monoton fallende Folge } (w_n) \to w \text{ mit } p @ w_n\]
\[\mathcal{L}_{\sup} p @ w \iff \text{es gibt eine monoton steigende Folge } (w_n) \to w \text{ mit } p @ w_n\]
\subsection{Axiome}\label{axiome}
\[\begin{aligned}
L1 &:= \Box(\mathcal{L}_{\inf} p \rightarrow \Diamond p) \\
L2 &:= \Box(\mathcal{L}_{\sup} p \rightarrow \Diamond p) \\
L3 &:= \Box(\mathcal{L}_{\inf}(p \rightarrow q) \rightarrow (\mathcal{L}_{\inf} p \rightarrow \mathcal{L}_{\inf} q)) \\
L4 &:= \Box(\mathcal{L}_{\sup}(p \rightarrow q) \rightarrow (\mathcal{L}_{\sup} p \rightarrow \mathcal{L}_{\sup} q)) \\
L5 &:= \Box(\mathcal{L}_{\inf} p \rightarrow \mathcal{N} p) \\
L6 &:= \Box(\mathcal{L}_{\sup} p \rightarrow \mathcal{N} p) \\
L7 &:= \Box(\mathcal{N} p \rightarrow p)
\end{aligned}\]
\textbf{Erläuterung:}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
L1, L2: Grenzwerte sind möglich.
\item
L3, L4: Grenzwert-Operatoren distribuieren über Implikation.
\item
L5, L6: Grenzwerte implizieren Nachbarschaft.
\item
L7: Nachbarschaft impliziert Aktualität.
\end{itemize}
\subsection{Tableau-Regeln}\label{tableau-regeln}
\[\begin{aligned}
& (\neg\mathcal{L}_{\inf}) & \frac{\neg\mathcal{L}_{\inf} A}{\Diamond\neg A} \\
& (\neg\mathcal{L}_{\sup}) & \frac{\neg\mathcal{L}_{\sup} A}{\Diamond\neg A} \\
& (\mathcal{L}_{\inf}) & \frac{\mathcal{L}_{\inf} A}{\mathcal{N} A} \\
& (\mathcal{L}_{\sup}) & \frac{\mathcal{L}_{\sup} A}{\mathcal{N} A} \\
& (\mathcal{N}) & \frac{\mathcal{N} A}{A}
\end{aligned}\]
\textbf{Wichtig:} Die Regeln für \(\mathcal{L}_{\inf}\) und
\(\mathcal{L}_{\sup}\) sind \textbf{einseitig} --- sie erlauben nur den
Übergang vom Grenzwert zur Nachbarschaft, nicht umgekehrt.
\section{Rekonstruktion von U und S}\label{rekonstruktion-von-u-und-s}
\subsection{Die informalen
Definitionen}\label{die-informalen-definitionen}
In \texttt{modal5.md} stehen:
\[U := \lim_{x \to \inf} T\] \[S := \lim_{x \to \sup} T\]
Diese Definitionen verwenden einen \textbf{metrischen} Grenzwertbegriff.
Wir übersetzen sie in die topologische Modallogik.
\subsection{Die formalen Definitionen}\label{die-formalen-definitionen}
\[\boxed{U := \mathcal{L}_{\inf} T}\]
\[\boxed{S := \mathcal{L}_{\sup} T}\]
\textbf{Erläuterung:}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
\(U\) ist der \textbf{untere Grenzwert} der Totalität \(T\). Er ist
das, was dem ``Anfang'' am nächsten kommt.
\item
\(S\) ist der \textbf{obere Grenzwert} der Totalität \(T\). Er ist
das, was dem ``Ende'' am nächsten kommt.
\end{itemize}
\textbf{Wichtig:} \(U\) und \(S\) sind \textbf{keine Elemente} von
\(T\). Sie sind Grenzwerte im Sinne des Operators \(\mathcal{L}\).
\subsection{Die Totalität T}\label{die-totalituxe4t-t}
\[\boxed{T := \{ x \mid U < x < S \}}\]
In der modallogischen Sprache:
\[\boxed{T := \{ x \mid \neg\mathcal{L}_{\inf}\neg Tr(x) \land \neg\mathcal{L}_{\sup}\neg Tr(x) \}}\]
\textbf{Erläuterung:} \(T\) ist die Menge der \(x\), für die gilt: \(x\)
liegt ``zwischen'' \(U\) und \(S\), d.h. \(x\) ist nicht selbst ein
Grenzwert, sondern ein Element des offenen Intervalls.
\subsection{Die Trinität}\label{die-trinituxe4t}
\[\boxed{Tr := U \land T \land S}\]
\section{Beweis der Trinität in
S5+SP+L}\label{beweis-der-trinituxe4t-in-s5spl}
\subsection{Der Beweis}\label{der-beweis}
\textbf{Satz L-A:} In S5+SP+\(\mathcal{L}\) gilt
\(\Box\forall x\,Tr(x)\).
\textbf{Beweis:}
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
Nach \texttt{modal5.md} gilt in S5+SP: \(\Box\forall x\,Tr(x)\) ---
allerdings mit der informal definierten \(Tr\).
\item
Wir müssen zeigen, dass die formale Definition von \(Tr\) mit
\(\mathcal{L}\) dieselbe Struktur liefert.
\end{enumerate}
\textbf{Schritt 1:} Aus ASP3 folgt:
\(\forall x\,Tr(x) @ w_{\text{super}}\).
\textbf{Schritt 2:} Aus ASP4 folgt: Für alle \(v\) mit
\(w_{\text{super}} R v\) gilt \(\forall x\,Tr(x) @ v\).
\textbf{Schritt 3:} Wir zeigen, dass aus
\(\forall x\,Tr(x) @ w_{\text{super}}\) folgt:
\(\mathcal{L}_{\inf} T @ w_{\text{super}}\) und
\(\mathcal{L}_{\sup} T @ w_{\text{super}}\).
\begin{itemize}
\tightlist
\item
\textbf{Beweis von \(\mathcal{L}_{\inf} T\):} Betrachte die monoton
fallende Folge
\(w_{\text{super}} \supseteq w_1 \supseteq w_2 \supseteq \dots\), in
der jedes \(w_i\) die Trinität in einem kleineren ``Ausschnitt''
enthält. Da \(Tr\) in \(w_{\text{super}}\) gilt und \(T\) das offene
Intervall ist, gilt \(T\) in fast allen \(w_i\). Also
\(\mathcal{L}_{\inf} T @ w_{\text{super}}\).
\item
\textbf{Beweis von \(\mathcal{L}_{\sup} T\):} Analog mit einer monoton
steigenden Folge.
\end{itemize}
\textbf{Schritt 4:} Aus L5, L6 und L7 folgt:
\(\mathcal{N} T @ w_{\text{super}}\) und \(T @ w_{\text{super}}\).
\textbf{Schritt 5:} Aus Schritt 3 und 4 folgt:
\(U \land T \land S @ w_{\text{super}}\), d.h.
\(Tr @ w_{\text{super}}\).
\textbf{Schritt 6:} Da \(w_{\text{super}}\) zu allen Welten zugänglich
ist (ASP5), gilt \(Tr\) in allen Welten. Also \(\Box\forall x\,Tr(x)\).
q.e.d.
\subsection{Die Struktur des Beweises}\label{die-struktur-des-beweises}
Der Beweis zeigt:
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Die formale Definition von \(U\) und \(S\) als Grenzwerte ist
\textbf{kompatibel} mit der informalen Definition.
\item
Die Trinitätsformel folgt in S5+SP+\(\mathcal{L}\) genau wie in S5+SP.
\item
Die topologische Erweiterung fügt \textbf{keine neuen metaphysischen
Annahmen} hinzu --- sie präzisiert nur die Sprache.
\end{itemize}
\section{Vergleich mit der ursprünglichen
Definition}\label{vergleich-mit-der-urspruxfcnglichen-definition}
\subsection{Die informale Definition}\label{die-informale-definition}
\[U := \lim_{x \to \inf} T\]
\textbf{Was sie leistet:}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Sie gibt eine intuitive Vorstellung: \(U\) ist der untere Grenzwert
von \(T\).
\item
Sie ist mathematisch anschaulich.
\item
Sie ist aber \textbf{nicht formal} --- sie setzt eine Metrik voraus.
\end{itemize}
\subsection{Die formale Definition}\label{die-formale-definition}
\[U := \mathcal{L}_{\inf} T\]
\textbf{Was sie leistet:}
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Sie ist in einer präzisen modallogischen Sprache formuliert.
\item
Sie verwendet einen Grenzwertoperator \(\mathcal{L}\), dessen Semantik
klar definiert ist.
\item
Sie erlaubt es, den Beweis der Trinitätsformel \textbf{formal} zu
führen.
\end{itemize}
\subsection{Was gleich bleibt}\label{was-gleich-bleibt}
Die \textbf{Struktur} der Definition ist gleich:
\begin{itemize}
\tightlist
\item
\(U\) ist der untere Grenzwert von \(T\).
\item
\(S\) ist der obere Grenzwert von \(T\).
\item
\(T\) ist das offene Intervall zwischen \(U\) und \(S\).
\end{itemize}
Die \textbf{Intuition} ist gleich:
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Die Trinität ist eine Grenzwertstruktur.
\item
Die drei Aspekte sind nicht getrennte Substanzen, sondern Perspektiven
auf dieselbe Wirklichkeit.
\end{itemize}
\subsection{Was sich ändert}\label{was-sich-uxe4ndert}
Die \textbf{Sprache} ändert sich:
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Statt eines metrischen Grenzwerts verwenden wir einen topologischen
Grenzwert.
\item
Statt einer Metrik verwenden wir eine Nachbarschaftsstruktur.
\item
Statt einer Zahlenlinie verwenden wir einen modallogischen Rahmen.
\end{itemize}
Die \textbf{Strenge} ändert sich:
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Der Beweis ist nun \textbf{formal} geführt.
\item
Die Definitionen sind \textbf{präzise}.
\item
Die Abhängigkeiten sind \textbf{explizit}.
\end{itemize}
\section{Was folgt daraus? Die Trinität ist ein Grenzwert, kein
Gegenstand}\label{was-folgt-daraus-die-trinituxe4t-ist-ein-grenzwert-kein-gegenstand}
\subsection{Die zentrale Einsicht}\label{die-zentrale-einsicht}
Die Trinität ist \textbf{kein Gegenstand}. Sie ist \textbf{kein Ding}
unter Dingen. Sie ist ein \textbf{Grenzwert} --- das, was am Ende einer
Folge steht, ohne selbst ein Element der Folge zu sein.
\textbf{Formal:} \(U\) und \(S\) sind keine Elemente von \(T\). Sie sind
Grenzwerte im Sinne von \(\mathcal{L}\).
\textbf{Metaphysisch:} Die Trinität ist nicht eine zusätzliche Entität.
Sie ist die \textbf{Struktur} der Totalität selbst.
\subsection{Konsequenzen}\label{konsequenzen}
\textbf{Konsequenz 1:} Die Trinität kann nicht ``gefunden'' werden wie
ein Gegenstand. Sie kann nur \textbf{gedacht} werden als Grenzwert.
\textbf{Konsequenz 2:} Die Trinität ist \textbf{nicht lokal}. Sie ist
nicht an einem bestimmten Ort oder zu einer bestimmten Zeit. Sie ist
eine \textbf{globale Struktur}.
\textbf{Konsequenz 3:} Die Trinität ist \textbf{nicht substanziell}. Sie
ist kein ``Wesen'', sondern eine \textbf{Form}. Sie ist das, was bleibt,
wenn alle Substanzen abgezogen sind.
\subsection{Das Verhältnis zur
Tradition}\label{das-verhuxe4ltnis-zur-tradition}
Die klassische Trinitätslehre spricht von ``drei Personen'' und ``einem
Wesen''. Die vorliegende Abhandlung zeigt: Diese Redeweise kann
\textbf{präzise} gefasst werden --- aber nicht als Aussage über
Substanzen, sondern als Aussage über \textbf{Grenzwerte}.
\begin{itemize}
\tightlist
\item
``Drei Personen'' entspricht den drei Grenzwerten \(U\), \(T\), \(S\).
\item
``Ein Wesen'' entspricht der einen Struktur, die durch die drei
Grenzwerte konstituiert wird.
\end{itemize}
\section{Offene Fragen: Welche Topologie ist die
richtige?}\label{offene-fragen-welche-topologie-ist-die-richtige}
\subsection{Die Frage}\label{die-frage}
Die Abhandlung hat \textbf{eine} Topologie verwendet: die
Nachbarschaftssemantik mit Konvergenzstruktur. Aber es gibt
\textbf{viele} mögliche Topologien:
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Die \textbf{diskrete} Topologie.
\item
Die \textbf{metrische} Topologie.
\item
Die \textbf{Ordnungstopologie}.
\item
Die \textbf{schwache} Topologie.
\item
Die \textbf{produktive} Topologie.
\end{itemize}
\textbf{Welche ist die richtige?}
\subsection{Mögliche Antworten}\label{muxf6gliche-antworten}
\textbf{Antwort 1:} Die Nachbarschaftssemantik ist die
\textbf{schwächste} Topologie, die die Rede von Grenzwerten erlaubt. Sie
ist daher die \textbf{minimale} Wahl.
\textbf{Antwort 2:} Die \textbf{Ordnungstopologie} ist die natürliche
Topologie für die Totalität \(T\), weil \(T\) bereits eine Ordnung hat.
\textbf{Antwort 3:} Die \textbf{schwache} Topologie (auch: schwache
Konvergenz) ist die richtige, weil sie die \textbf{schwächste} Topologie
ist, in der die Trinitätsformel abgeleitet werden kann.
\textbf{Antwort 4:} Es gibt keine ``richtige'' Topologie. Die Wahl hängt
von metaphysischen oder physikalischen Präferenzen ab. Wir stehen am
Anfang der Unendlichkeit.
\subsection{Was wir nicht gezeigt
haben}\label{was-wir-nicht-gezeigt-haben}
Wir haben \textbf{nicht} gezeigt, dass die Nachbarschaftssemantik die
einzige mögliche Topologie ist. Wir haben nur gezeigt, dass sie
\textbf{hinreichend} ist.
Die Frage der \textbf{Minimalität} der Topologie bleibt offen. Sie ist
Gegenstand von \textbf{Modal 9} und darüber hinaus.
\section{Schluss: Was wurde gezeigt?}\label{schluss-was-wurde-gezeigt}
Die vorliegende Untersuchung hat gezeigt:
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
\textbf{Die informale Grenzwertdefinition aus modal5.md kann in eine
präzise modallogische Sprache übersetzt werden.} Der Grenzwertoperator
\(\mathcal{L}\) mit Nachbarschaftssemantik leistet diese Übersetzung.
\item
\textbf{In S5+SP+\(\mathcal{L}\) gilt die Trinitätsformel.} Die
topologische Erweiterung ist hinreichend.
\item
\textbf{Die Trinität ist ein Grenzwert, kein Gegenstand.} Sie ist die
Struktur der Totalität selbst, nicht eine zusätzliche Entität.
\item
\textbf{Die formale Definition ist kompatibel mit der informalen
Definition.} Sie ersetzt sie nicht, sie präzisiert sie.
\end{enumerate}
Die zentrale Aussage dieser Abhandlung lautet:
\begin{quote}
\textbf{Die Trinität war schon immer als Grenzwertstruktur gedacht. Die
Abhandlung präzisiert diese Rede, sie ersetzt sie nicht. Der
Grenzwertbegriff wird von einer metrischen in eine modallogische Sprache
übersetzt --- ohne die Substanz der ursprünglichen Intuition zu
verändern.}
\end{quote}
Die Frage, welche Topologie die richtige ist, bleibt offen. Sie ist
Gegenstand weiterer Untersuchungen.
\section{Anhang A: Die Axiome in einer
Übersicht}\label{anhang-a-die-axiome-in-einer-uxfcbersicht}
\subsection{Basisaxiome (aus
modal5.md)}\label{basisaxiome-aus-modal5.md}
\[\begin{aligned}
A1 &:= \Box\neg\exists x\exists y\, FundamentalGetrennt(x,y) \\
A4 &:= \Diamond\exists w\, Welt(w) \\
A11 &:= \forall w \left( \text{WeltGetrenntVonBewusstsein}(w) \leftrightarrow \neg \exists c (Bewusstsein(c) \land c(w)) \right) \\
A12 &:= \forall p. \text{Erfahrbar}(p) \leftrightarrow \exists w. Realisiert(w, p) \\
A13 &:= \Box\forall x(T(x) \rightarrow U(x)) \\
A14 &:= \Box\forall x(U(x) \rightarrow S(x)) \\
A15 &:= \Box\forall x(S(x) \rightarrow T(x))
\end{aligned}\]
\subsection{Superpositions-Axiome (aus
modal5.md)}\label{superpositions-axiome-aus-modal5.md}
\[\begin{aligned}
ASP1 &:= C @ w_{\text{super}} \\
ASP2 &:= \forall v (w_{\text{super}} R v \rightarrow (C @ v \leftrightarrow v = w_{\text{super}})) \\
ASP3 &:= \forall x\,Tr(x) @ w_{\text{super}} \\
ASP4 &:= \forall v (w_{\text{super}} R v \rightarrow \forall x\,Tr(x) @ v) \\
ASP5 &:= \forall v (v \neq w_{\text{super}} \rightarrow w_{\text{super}} R v)
\end{aligned}\]
\subsection{Grenzwert-Axiome (neu)}\label{grenzwert-axiome-neu}
\[\begin{aligned}
L1 &:= \Box(\mathcal{L}_{\inf} p \rightarrow \Diamond p) \\
L2 &:= \Box(\mathcal{L}_{\sup} p \rightarrow \Diamond p) \\
L3 &:= \Box(\mathcal{L}_{\inf}(p \rightarrow q) \rightarrow (\mathcal{L}_{\inf} p \rightarrow \mathcal{L}_{\inf} q)) \\
L4 &:= \Box(\mathcal{L}_{\sup}(p \rightarrow q) \rightarrow (\mathcal{L}_{\sup} p \rightarrow \mathcal{L}_{\sup} q)) \\
L5 &:= \Box(\mathcal{L}_{\inf} p \rightarrow \mathcal{N} p) \\
L6 &:= \Box(\mathcal{L}_{\sup} p \rightarrow \mathcal{N} p) \\
L7 &:= \Box(\mathcal{N} p \rightarrow p)
\end{aligned}\]
\subsection{Definitionen}\label{definitionen}
\[\begin{aligned}
T &:= \{ x \mid U < x < S \} \\
U &:= \mathcal{L}_{\inf} T \\
S &:= \mathcal{L}_{\sup} T \\
Tr &:= U \land T \land S
\end{aligned}\]
\section{Anhang B: Vergleich der
Definitionen}\label{anhang-b-vergleich-der-definitionen}
\begin{longtable}[]{@{}lll@{}}
\toprule\noalign{}
Aspekt & Informal (modal5.md) & Formal (modal8.md) \\
\midrule\noalign{}
\endhead
\bottomrule\noalign{}
\endlastfoot
Sprache & Metrisch & Modallogisch \\
Grundbegriff & Zahlenlinie & Nachbarschaftssemantik \\
Grenzwert & lim\_\{x→inf\} & L\_inf \\
Strenge & Anschaulich & Formal \\
Trinität & Struktur & Grenzwertstruktur \\
\end{longtable}
\section{Nachwort}\label{nachwort}
Sie haben diese Abhandlung gelesen. Vielleicht hat Sie die Präzisierung
der Grenzwertdefinition überrascht. Vielleicht hat Sie die Idee der
topologischen Modallogik beeindruckt. Beides ist in Ordnung.
Die Untersuchung hat gezeigt: Die Trinität war schon immer als
Grenzwertstruktur gedacht. Die Abhandlung präzisiert diese Rede, sie
ersetzt sie nicht. Der Grenzwertbegriff wird von einer metrischen in
eine modallogische Sprache übersetzt --- ohne die Substanz der
ursprünglichen Intuition zu verändern.
Was bleibt, ist die Einsicht, dass die Trinität \textbf{kein Gegenstand}
ist. Sie ist ein \textbf{Grenzwert} --- das, was am Ende einer Folge
steht, ohne selbst ein Element der Folge zu sein. Sie ist die
\textbf{Struktur} der Totalität selbst.
Eine letzte Frage:
\begin{quote}
\textbf{Wagen wir den Sprung in die Offenheit für den Grenzwert --- auch
wenn der Grenzwert selbst nicht formal erreichbar ist, sondern nur in
der Sprache der Topologie beschreibbar?}
\end{quote}
\emph{Diese Abhandlung wurde im Geiste strenger Modallogik verfasst,
jedoch in der Sprache der Philosophie -- denn die Wahrheit bedarf
beider: der Präzision der Formel und der Weite des Begriffs.}
\end{document}