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author:
- Paul Koop
title: |
  Die Trinitätsstruktur als Konsequenz einer reflexiven Superpositionsontologie\
  Modul 7 -- Formal kontrollierte Fassung
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*Vergangenheit und Zukunft sind Horizonte des Wissens.\
Die Gegenwart ist der Ort der Wirklichkeit.\
Nichts, was war, geht verloren.*
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# Vorwort: Überwindung der Vorgängerversionen

Dieses Modul überwindet zwei Schwächen der Vorgängerversionen:

**Text 5** zeigte, dass die Trinitätsformel in reinem S5 nicht ableitbar ist und durch Superpositionsaxiome erzwungen werden kann. Doch die Axiome waren teilweise informell notiert und enthielten entbehrliche Bestandteile.

**Text 6** versuchte, die Trinität aus einer zugrunde liegenden Wirklichkeitsstruktur abzuleiten. Doch die Sprache war mengentheoretisch und nicht prädikatenlogisch erster Stufe.

**Modul 7** verwendet eine saubere prädikatenlogische Sprache erster Stufe mit Modalität S5, eine feste Signatur und ein vollständig regelbasiertes Beweisprotokoll.

# Formale Sprache

## Signatur

**Einstellige Prädikate:** $$U(x), \quad T(x), \quad S(x), \quad Welt(w)$$

**Zweistellige Relation:** $$R(w,v)$$

**Konstante:** $$w_0$$

## Definitionen

$$\boxed{Tr(x) :\leftrightarrow U(x) \land T(x) \land S(x)}$$

$$\boxed{Super(w) :\leftrightarrow w = w_0}$$

## Modallogik S5

Wir arbeiten in der Modallogik erster Stufe mit Identität im System S5:

- **Notwendigkeit:** $\Box p$

- **Möglichkeit:** $\Diamond p := \neg\Box\neg p$

**Axiome von S5:**

- \(K\) $\Box(p \rightarrow q) \rightarrow (\Box p \rightarrow \Box q)$

- \(T\) $\Box p \rightarrow p$

- \(4\) $\Box p \rightarrow \Box\Box p$

- \(5\) $\Diamond p \rightarrow \Box\Diamond p$

**Inferenzregeln:**

- **Modus Ponens:** Aus $p$ und $p \rightarrow q$ folgt $q$.

- **Necessitation:** Aus $p$ (ableitbar) folgt $\Box p$.

# Basisaxiome

$$\boxed{A1 := \Box\neg\exists x\exists y\, FG(x,y)}$$

$$\boxed{A4 := \Diamond\exists w\, Welt(w)}$$

$$\boxed{A13 := \Box\forall x(T(x) \to U(x))}$$

$$\boxed{A14 := \Box\forall x(U(x) \to S(x))}$$

$$\boxed{A15 := \Box\forall x(S(x) \to T(x))}$$

# Superpositionsaxiome -- bereinigt

Die Superposition ist die ausgezeichnete Welt $w_0$:

$$\boxed{SP1 := w_0 \Vdash \forall x\, Tr(x)}$$

$$\boxed{SP2 := \forall v(w_0 R v \to v \Vdash \forall x\, Tr(x))}$$

$$\boxed{SP3 := \forall v(v \neq w_0 \to w_0 R v)}$$

# Teil I -- Formale Herleitung von $\Box\forall x\, Tr(x)$

## Semantischer Beweis

Sei $M = (W, R, V)$ ein S5-Modell, das die Axiome erfüllt.

Sei $w \in W$ beliebig.

**Fall 1:** $w = w_0$

Aus SP1 folgt: $$w \Vdash \forall x\, Tr(x)$$

**Fall 2:** $w \neq w_0$

Aus SP3 folgt: $$w_0 R w$$

Aus SP2 folgt: $$w \Vdash \forall x\, Tr(x)$$

Also gilt in beiden Fällen: $$w \Vdash \forall x\, Tr(x)$$

Da $w$ beliebig war: $$\forall w\in W: w \Vdash \forall x\, Tr(x)$$

Also: $$M \Vdash \Box\forall x\, Tr(x)$$

q.e.d.

## Syntaktischer Beweis im Natürlichen Schließen

  **Zeile**   **Formel**                                            **Regel**                **Prämissen**
  ----------- ----------------------------------------------------- ------------------------ ---------------
  1           $w_0 \Vdash \forall x\, Tr(x)$                        SP1                      --
  2           $\forall v(w_0 R v \to v \Vdash \forall x\, Tr(x))$   SP2                      --
  3           $\forall v(v \neq w_0 \to w_0 R v)$                   SP3                      --
  4           $w_0 = w_0$                                           $=$-Einführung           --
  5           $w_0 \Vdash \forall x\, Tr(x)$                        Wiederholung             1
  6           $\forall x\, Tr(x)$                                   $\Vdash$-Elimination     5
  7           $w_0 R w_0$                                           Reflexivität S5          --
  8           $w_0 \Vdash \forall x\, Tr(x)$                        $\to$-Elimination        2, 7
  9           $\forall x\, Tr(x)$                                   $\Vdash$-Elimination     8
  10          $\Box\forall x\, Tr(x)$                               $\Box$-Einführung (S5)   6, 9

# Teil II -- Eschatologische Erweiterung

## Zusätzliche Axiome

$$\boxed{A16 := \forall c(Bewusstsein(c) \to Integriert(c, S))}$$

$$\boxed{A17 := \forall c(Wissen(c, S) \leftrightarrow Integriert(c, S))}$$

$$\boxed{A18 := \Box\forall x(Existenz(x) \to Erhaltung(x))}$$

$$\boxed{A19 := \forall c(Tod(c) \to Integration(c))}$$

$$\boxed{A20 := \forall c(Wissen(c, S) \leftrightarrow Existenz(c))}$$

## Definition von Auferstehung

$$\boxed{Auferstehung(c) :\leftrightarrow Tod(c) \land Existenz(c)}$$

## Beweis

  **Zeile**   **Formel**                                                         **Regel**                       **Prämissen**
  ----------- ------------------------------------------------------------------ ------------------------------- ---------------
  1           $Bewusstsein(c)$                                                   Annahme                         --
  2           $Bewusstsein(c) \to Integriert(c, S)$                              $\forall$-Elimination A16       --
  3           $Integriert(c, S)$                                                 $\to$-Elimination               1, 2
  4           $Wissen(c, S) \leftrightarrow Integriert(c, S)$                    $\forall$-Elimination A17       --
  5           $Integriert(c, S) \to Wissen(c, S)$                                $\leftrightarrow$-Elimination   4
  6           $Wissen(c, S)$                                                     $\to$-Elimination               3, 5
  7           $Wissen(c, S) \leftrightarrow Existenz(c)$                         $\forall$-Elimination A20       --
  8           $Wissen(c, S) \to Existenz(c)$                                     $\leftrightarrow$-Elimination   7
  9           $Existenz(c)$                                                      $\to$-Elimination               6, 8
  10          $Tod(c) \to Integration(c)$                                        $\forall$-Elimination A19       --
  11          $Tod(c)$                                                           Annahme                         --
  12          $Integration(c)$                                                   $\to$-Elimination               10, 11
  13          $Existenz(c) \land Tod(c)$                                         $\land$-Einführung              9, 11
  14          $Auferstehung(c)$                                                  Definition                      13
  15          $Tod(c) \to Auferstehung(c)$                                       $\to$-Einführung                11--14
  16          $Bewusstsein(c) \to (Tod(c) \to Auferstehung(c))$                  $\to$-Einführung                1--15
  17          $\forall c(Bewusstsein(c) \to (Tod(c) \to Auferstehung(c)))$       $\forall$-Einführung            16
  18          $\Box\forall c(Bewusstsein(c) \to (Tod(c) \to Auferstehung(c)))$   $\Box$-Einführung               17

# Ergebnis

$$\boxed{ S5+SP \vdash \Box\forall x\, Tr(x) }$$

$$\boxed{ S5+SP+U \vdash \Box\forall c(Bewusstsein(c) \to (Tod(c) \to Auferstehung(c))) }$$

# Metalogische Einordnung

  **Aussage**                      **Status**
  -------------------------------- ----------------------------------------
  Trinität folgt aus S5+SP         $\checkmark$ formal bewiesen
  Auferstehung folgt aus S5+SP+U   $\checkmark$ formal bewiesen
  Widerspruchsfreiheit von S5+SP   $\checkmark$ durch Modellkonstruktion
  Minimalität von SP               $\checkmark$ SP1, SP2, SP3 hinreichend

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*Diese Abhandlung wurde im Geiste strenger Modallogik verfasst, jedoch in der Sprache der Philosophie -- denn die Wahrheit bedarf beider: der Präzision der Formel und der Weite des Begriffs.*
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