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ARS_ExplainableAIARS_XAI_Petri_Ger.md
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abstract: |
Die vorliegende Arbeit erweitert die Algorithmisch Rekursive Sequenzanalyse (ARS) um Petri-Netze als formales Modellierungsverfahren. Während ARS 3.0 die hierarchische Struktur von Interaktionen durch Nonterminale abbildet, ermöglichen Petri-Netze die Modellierung von Nebenläufigkeit, Ressourcen und Zustandsübergängen. Die Integration erfolgt als kontinuierliche Erweiterung auf äquivalenter Ebene: Die interpretativ gewonnenen Terminalzeichen und die induzierte Nonterminal-Hierarchie werden in Stellen/Transitionen-Netze überführt. Die Anwendung auf acht Transkripte von Verkaufsgesprächen demonstriert, wie parallele Aktivitäten von Kunden und Verkäufern, Ressourcen (Waren, Geld) und Gesprächsphasen als Petri-Netz modelliert werden können. Die methodologische Kontrolle bleibt gewahrt, da die Netze auf der interpretativen Kategorienbildung aufbauen.
author:
- Paul Koop
date: 2026
title: |
Algorithmisch Rekursive Sequenzanalyse 4.0\
Integration von Petri-Netzen zur Modellierung nebenläufiger\
Interaktionsstrukturen in Verkaufsgesprächen
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Einleitung: Von der Grammatik zum Prozessmodell
Die ARS 3.0 hat gezeigt, wie aus interpretativ gewonnenen Terminalzeichenketten hierarchische Grammatiken induziert werden können. Diese Grammatiken modellieren die sequenzielle Ordnung von Sprechakten als probabilistische Ableitungsbäume. Sie erfassen jedoch nicht alle Aspekte natürlicher Interaktion:
- Nebenläufigkeit: In Verkaufsgesprächen können parallel Aktivitäten stattfinden (Kunde sucht Geld, Verkäufer verpackt Ware).
- Ressourcen: Waren, Geld und Aufmerksamkeit sind begrenzte Ressourcen, die den Gesprächsverlauf beeinflussen.
- Zustandsabhängigkeiten: Der Gesprächszustand (z.B. \"wartet auf Bezahlung\") bestimmt, welche Aktionen möglich sind.
Petri-Netze [@Petri1962; @Reisig2010] sind ein etabliertes formales Modell, das genau diese Aspekte abbilden kann. Sie bestehen aus:
- Stellen (Kreise): repräsentieren Zustände oder Ressourcen
- Transitionen (Rechtecke): repräsentieren Ereignisse oder Aktionen
- Kanten: verbinden Stellen mit Transitionen und umgekehrt
- Marken (Token): repräsentieren die aktuelle Belegung von Stellen
Die vorliegende Arbeit entwickelt eine systematische Überführung der ARS-3.0-Grammatik in Petri-Netze und demonstriert dies an den acht Transkripten von Verkaufsgesprächen.
Theoretische Grundlagen
Stellen/Transitionen-Netze
Ein Stellen/Transitionen-Netz (S/T-Netz) ist ein Tupel $N = (S, T, F, W, M_0)$ mit:
- $S$: Menge der Stellen (Places)
- $T$: Menge der Transitionen (Transitions), $S \cap T = \emptyset$
- $F \subseteq (S \times T) \cup (T \times S)$: Flussrelation (Kanten)
- $W: F \rightarrow \mathbb{N}^+$: Kantengewichte
- $M_0: S \rightarrow \mathbb{N}_0$: Anfangsmarkierung
Die Dynamik eines Petri-Netzes wird durch das Schalten von Transitionen bestimmt. Eine Transition $t$ ist aktiviert, wenn für alle Vorstellen $s \in \bullet t$ gilt: $M(s) \ge W(s,t)$. Beim Schalten werden Token von den Vorstellen entfernt und zu den Nachstellen hinzugefügt.
Gefärbte Petri-Netze
Gefärbte Petri-Netze (Colored Petri Nets) [@Jensen1997] erweitern S/T-Netze um Datentypen (Farben). Jede Stelle hat einen bestimmten Farbtyp, und Token tragen Datenwerte. Transitionen können komplexe Schaltregeln haben, die auf diesen Daten operieren.
Für die Modellierung von Verkaufsgesprächen eignen sich gefärbte Petri-Netze besonders, da sie unterschiedliche Token-Typen (Kunde, Verkäufer, Ware, Geld) unterscheiden können.
Hierarchische Petri-Netze
Hierarchische Petri-Netze [@Fehling1993] erlauben die Modellierung von Subnetzen, die als abstrakte Transitionen oder Stellen dargestellt werden. Dies ermöglicht die direkte Umsetzung der ARS-3.0-Nonterminal-Hierarchie.
Methodik: Von ARS 3.0 zu Petri-Netzen
Überführung der Terminalzeichen
Die Terminalzeichen der ARS 3.0 werden als Transitionen modelliert:
::: {#tab:mapping_terminal}
Terminalzeichen Bedeutung Petri-Netz-Transition
--------------------- -------------------------- ---------------------------
KBG Kunden-Gruß t_KBG
VBG Verkäufer-Gruß t_VBG
KBBd Kunden-Bedarf t_KBBd
VBBd Verkäufer-Nachfrage t_VBBd
KBA Kunden-Antwort t_KBA
VBA Verkäufer-Reaktion t_VBA
KAE Kunden-Erkundigung t_KAE
VAE Verkäufer-Auskunft t_VAE
KAA Kunden-Abschluss t_KAA
VAA Verkäufer-Abschluss t_VAA
KAV Kunden-Verabschiedung t_KAV
VAV Verkäufer-Verabschiedung t_VAV
: Mapping von Terminalzeichen zu Petri-Netz-Transitionen
:::
Überführung der Nonterminale
Die Nonterminale der ARS 3.0 werden als hierarchische Subnetze modelliert. Jedes Nonterminal wird zu einer abstrakten Transition, die ein Subnetz mit den entsprechenden Produktionen enthält.
Beispiel: Das Nonterminal 'NT_BEDARFSKLAERUNG_KBBd_VBBd' wird zu einer Transition 't_BEDARFSKLAERUNG', die intern aus den Transitionen 't_KBBd' und 't_VBBd' besteht.
Modellierung von Ressourcen
Zusätzlich zu den sprechakt-basierten Transitionen werden Ressourcen als Stellen modelliert:
- s_Kunde: Token repräsentieren den Kunden (Anwesenheit, Zustand)
- s_Verkäufer: Token repräsentieren den Verkäufer
- s_Waren: Token repräsentieren verfügbare Waren
- s_Geld: Token repräsentieren Geld (beim Kunden, im Register)
- s_Gesprächsphase: Token repräsentieren die aktuelle Phase
Modellierung von Nebenläufigkeit
Nebenläufigkeit wird durch parallele Pfade im Petri-Netz modelliert. Zum Beispiel können Kunde und Verkäufer gleichzeitig aktiv sein (Kunde sucht Geld, Verkäufer verpackt Ware).
Implementierung
Die Implementierung erfolgt in Python mit der Bibliothek 'pm4py' (Process Mining for Python) und 'snakes' (Petri-Netz-Simulator).
"""
Petri-Netz-Implementierung für ARS 4.0
Modellierung von Verkaufsgesprächen als Stellen/Transitionen-Netze
"""
import numpy as np
from collections import defaultdict
import matplotlib.pyplot as plt
import networkx as nx
class ARSPetriNet:
"""
Petri-Netz-Modell für ARS 4.0
"""
def __init__(self, name="ARS_PetriNet"):
self.name = name
self.places = {} # Stellen: name -> Place-Objekt
self.transitions = {} # Transitionen: name -> Transition-Objekt
self.arcs = [] # Kanten: (source, target, weight)
self.tokens = {} # Marken: place_name -> Anzahl
self.hierarchy = {} # Hierarchie: transition_name -> subnet
# Statistik
self.firing_history = []
self.reached_markings = set()
def add_place(self, name, initial_tokens=0, place_type="normal"):
"""
Fügt eine Stelle hinzu
place_type: "normal", "resource", "phase", "customer", "seller"
"""
self.places[name] = {
'name': name,
'type': place_type,
'initial_tokens': initial_tokens,
'current_tokens': initial_tokens
}
self.tokens[name] = initial_tokens
def add_transition(self, name, transition_type="speech_act",
guard=None, subnet=None):
"""
Fügt eine Transition hinzu
transition_type: "speech_act", "abstract", "silent"
guard: Bedingungsfunktion (optional)
subnet: Subnetz für hierarchische Transitionen
"""
self.transitions[name] = {
'name': name,
'type': transition_type,
'guard': guard,
'subnet': subnet
}
if subnet:
self.hierarchy[name] = subnet
def add_arc(self, source, target, weight=1):
"""
Fügt eine Kante hinzu (source -> target)
source/target können Stellen oder Transitionen sein
"""
self.arcs.append({
'source': source,
'target': target,
'weight': weight
})
def get_preset(self, transition):
"""Gibt die Vorstellen einer Transition zurück"""
preset = {}
for arc in self.arcs:
if arc['target'] == transition and arc['source'] in self.places:
preset[arc['source']] = arc['weight']
return preset
def get_postset(self, transition):
"""Gibt die Nachstellen einer Transition zurück"""
postset = {}
for arc in self.arcs:
if arc['source'] == transition and arc['target'] in self.places:
postset[arc['target']] = arc['weight']
return postset
def is_enabled(self, transition):
"""Prüft, ob eine Transition aktiviert ist"""
if transition not in self.transitions:
return False
# Prüfe Vorstellen
preset = self.get_preset(transition)
for place, weight in preset.items():
if self.tokens.get(place, 0) < weight:
return False
# Prüfe Guard-Bedingung
trans_data = self.transitions[transition]
if trans_data'guard'] and not trans_data['guard':
return False
return True
def fire(self, transition):
"""Schaltet eine Transition"""
if not self.is_enabled(transition):
return False
# Entferne Token von Vorstellen
preset = self.get_preset(transition)
for place, weight in preset.items():
self.tokens[place] -= weight
# Füge Token zu Nachstellen hinzu
postset = self.get_postset(transition)
for place, weight in postset.items():
self.tokens[place] = self.tokens.get(place, 0) + weight
# Protokolliere Schaltvorgang
self.firing_history.append({
'transition': transition,
'marking': self.get_marking_copy()
})
# Speichere erreichte Markierung
self.reached_markings.add(self.get_marking_tuple())
return True
def get_marking_copy(self):
"""Gibt eine Kopie der aktuellen Markierung zurück"""
return self.tokens.copy()
def get_marking_tuple(self):
"""Gibt die Markierung als sortiertes Tupel zurück (für Hash-Set)"""
return tuple(sorted([(p, self.tokens[p]) for p in self.places]))
def reset(self):
"""Setzt das Netz in den Anfangszustand zurück"""
for place_name, place_data in self.places.items():
self.tokens[place_name] = place_data['initial_tokens']
self.firing_history = []
def simulate(self, transition_sequence):
"""
Simuliert eine Sequenz von Transitionen
Gibt Erfolg und letzte Markierung zurück
"""
self.reset()
successful = []
for t in transition_sequence:
if self.is_enabled(t):
self.fire(t)
successful.append(t)
else:
break
return successful, self.get_marking_copy()
def visualize(self, filename="petri_net.png"):
"""
Visualisiert das Petri-Netz mit networkx und matplotlib
"""
G = nx.DiGraph()
# Füge Stellen hinzu (Kreise)
for place in self.places:
G.add_node(place, type='place', shape='circle')
# Füge Transitionen hinzu (Rechtecke)
for trans in self.transitions:
G.add_node(trans, type='transition', shape='box')
# Füge Kanten hinzu
for arc in self.arcs:
G.add_edge(arc['source'], arc['target'], weight=arc['weight'])
# Layout
pos = nx.spring_layout(G)
plt.figure(figsize=(15, 10))
# Zeichne Stellen
place_nodes = [n for n in G.nodes() if G.nodes[n].get('type') == 'place']
nx.draw_networkx_nodes(G, pos, nodelist=place_nodes,
node_color='lightblue', node_shape='o',
node_size=1000)
# Zeichne Transitionen
trans_nodes = [n for n in G.nodes() if G.nodes[n].get('type') == 'transition']
nx.draw_networkx_nodes(G, pos, nodelist=trans_nodes,
node_color='lightgreen', node_shape='s',
node_size=800)
# Zeichne Kanten
nx.draw_networkx_edges(G, pos, arrows=True, arrowsize=20)
# Zeichne Labels
labels = {}
for node in G.nodes():
if node in self.places:
labels[node] = f"{node}\n[{self.tokens.get(node, 0)}]"
else:
labels[node] = node
nx.draw_networkx_labels(G, pos, labels, font_size=8)
plt.title(f"Petri-Netz: {self.name}")
plt.axis('off')
plt.tight_layout()
plt.savefig(filename, dpi=150)
plt.show()
return G
class ARSToPetriNetConverter:
"""
Konvertiert ARS-3.0-Grammatiken in Petri-Netze
"""
def __init__(self, grammar_rules, terminal_chains):
self.grammar = grammar_rules
self.terminals = terminal_chains
self.petri_net = ARSPetriNet("ARS_4.0_Verkaufsgespraeche")
def build_resource_places(self):
"""
Erstellt Ressourcen-Stellen
"""
# Kunde und Verkäufer als Ressourcen
self.petri_net.add_place("s_Kunde_anwesend", initial_tokens=1,
place_type="customer")
self.petri_net.add_place("s_Kunde_bereit", initial_tokens=1,
place_type="customer")
self.petri_net.add_place("s_Kunde_zahlt", initial_tokens=0,
place_type="customer")
self.petri_net.add_place("s_Verkäufer_bereit", initial_tokens=1,
place_type="seller")
self.petri_net.add_place("s_Verkäufer_bedient", initial_tokens=0,
place_type="seller")
# Waren und Geld
self.petri_net.add_place("s_Waren_verfügbar", initial_tokens=10,
place_type="resource")
self.petri_net.add_place("s_Waren_ausgewählt", initial_tokens=0,
place_type="resource")
self.petri_net.add_place("s_Waren_verpackt", initial_tokens=0,
place_type="resource")
self.petri_net.add_place("s_Geld_Kunde", initial_tokens=20,
place_type="resource")
self.petri_net.add_place("s_Geld_Register", initial_tokens=0,
place_type="resource")
# Gesprächsphasen
phases = ["Begrüßung", "Bedarfsermittlung", "Beratung",
"Abschluss", "Verabschiedung"]
for phase in phases:
self.petri_net.add_place(f"s_Phase_{phase}", initial_tokens=0,
place_type="phase")
# Anfangsphase
self.petri_net.add_place("s_Phase_Start", initial_tokens=1,
place_type="phase")
def build_speech_act_transitions(self):
"""
Erstellt Transitionen für alle Terminalzeichen
"""
# Mapping der Terminalzeichen zu Petri-Netz-Transitionen
terminal_to_transition = {
'KBG': self._create_greeting_transition('KBG', 'Kunde'),
'VBG': self._create_greeting_transition('VBG', 'Verkäufer'),
'KBBd': self._create_need_transition('KBBd', 'Kunde'),
'VBBd': self._create_inquiry_transition('VBBd', 'Verkäufer'),
'KBA': self._create_response_transition('KBA', 'Kunde'),
'VBA': self._create_reaction_transition('VBA', 'Verkäufer'),
'KAE': self._create_inquiry_transition('KAE', 'Kunde'),
'VAE': self._create_information_transition('VAE', 'Verkäufer'),
'KAA': self._create_completion_transition('KAA', 'Kunde'),
'VAA': self._create_completion_transition('VAA', 'Verkäufer'),
'KAV': self._create_farewell_transition('KAV', 'Kunde'),
'VAV': self._create_farewell_transition('VAV', 'Verkäufer')
}
# Füge Transitionen zum Netz hinzu
for terminal, trans_data in terminal_to_transition.items():
self.petri_net.add_transition(
trans_data['name'],
transition_type=trans_data['type'],
guard=trans_data.get('guard')
)
# Füge Kanten hinzu
for arc in trans_data.get('arcs', []):
self.petri_net.add_arc(arc['source'], arc['target'],
arc.get('weight', 1))
def _create_greeting_transition(self, symbol, speaker):
"""Erstellt eine Gruß-Transition"""
return {
'name': f"t_{symbol}",
'type': 'speech_act',
'arcs': [
{'source': f"s_{speaker}_bereit", 'target': f"t_{symbol}"},
{'source': f"s_Phase_Start", 'target': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_Phase_Begrüßung", 'source': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_{speaker}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"}
]
}
def _create_need_transition(self, symbol, speaker):
"""Erstellt eine Bedarfs-Transition"""
return {
'name': f"t_{symbol}",
'type': 'speech_act',
'guard': lambda net: net.tokens.get('s_Waren_verfügbar', 0) > 0,
'arcs': [
{'source': f"s_{speaker}_bereit", 'target': f"t_{symbol}"},
{'source': 's_Waren_verfügbar', 'target': f"t_{symbol}"},
{'target': 's_Waren_ausgewählt', 'source': f"t_{symbol}", 'weight': 1},
{'target': f"s_{speaker}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"}
]
}
def _create_inquiry_transition(self, symbol, speaker):
"""Erstellt eine Nachfrage-Transition"""
return {
'name': f"t_{symbol}",
'type': 'speech_act',
'arcs': [
{'source': f"s_{speaker}_bereit", 'target': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_{speaker}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"}
]
}
def _create_response_transition(self, symbol, speaker):
"""Erstellt eine Antwort-Transition"""
return {
'name': f"t_{symbol}",
'type': 'speech_act',
'arcs': [
{'source': f"s_{speaker}_bereit", 'target': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_{speaker}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"}
]
}
def _create_reaction_transition(self, symbol, speaker):
"""Erstellt eine Reaktions-Transition"""
return {
'name': f"t_{symbol}",
'type': 'speech_act',
'arcs': [
{'source': f"s_{speaker}_bereit", 'target': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_{speaker}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"}
]
}
def _create_information_transition(self, symbol, speaker):
"""Erstellt eine Informations-Transition"""
return {
'name': f"t_{symbol}",
'type': 'speech_act',
'arcs': [
{'source': f"s_{speaker}_bereit", 'target': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_{speaker}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"}
]
}
def _create_completion_transition(self, symbol, speaker):
"""Erstellt eine Abschluss-Transition"""
other = 'Verkäufer' if speaker == 'Kunde' else 'Kunde'
return {
'name': f"t_{symbol}",
'type': 'speech_act',
'guard': lambda net: (net.tokens.get('s_Waren_ausgewählt', 0) > 0 and
net.tokens.get('s_Geld_Kunde', 0) > 0),
'arcs': [
{'source': f"s_{speaker}_bereit", 'target': f"t_{symbol}"},
{'source': 's_Waren_ausgewählt', 'target': f"t_{symbol}", 'weight': 1},
{'source': 's_Geld_Kunde', 'target': f"t_{symbol}", 'weight': 1},
{'target': 's_Waren_verpackt', 'source': f"t_{symbol}", 'weight': 1},
{'target': 's_Geld_Register', 'source': f"t_{symbol}", 'weight': 1},
{'target': f"s_Phase_Abschluss", 'source': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_{speaker}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_{other}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"}
]
}
def _create_farewell_transition(self, symbol, speaker):
"""Erstellt eine Verabschiedungs-Transition"""
return {
'name': f"t_{symbol}",
'type': 'speech_act',
'arcs': [
{'source': f"s_{speaker}_bereit", 'target': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_Phase_Verabschiedung", 'source': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_{speaker}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"}
]
}
def build_nonterminal_hierarchy(self):
"""
Erstellt hierarchische Transitionen für Nonterminale
"""
for nt, productions in self.grammar.items():
# Erstelle Subnetz für dieses Nonterminal
subnet = ARSPetriNet(f"subnet_{nt}")
# Füge Produktionen als Transitionen im Subnetz hinzu
for i, (prod, prob) in enumerate(productions):
trans_name = f"t_{nt}_prod{i}"
subnet.add_transition(trans_name, transition_type="production")
# Verbinde die Symbole der Produktion
prev = None
for sym in prod:
if sym in self.terminals:
# Terminalzeichen als Transition
subnet.add_transition(f"t_{sym}", transition_type="speech_act")
if prev:
subnet.add_arc(prev, f"t_{sym}")
prev = f"t_{sym}"
else:
# Nonterminal als abstrakte Transition (rekursiv)
subnet.add_transition(f"t_{sym}", transition_type="abstract")
if prev:
subnet.add_arc(prev, f"t_{sym}")
prev = f"t_{sym}"
# Füge Haupttransition mit Subnetz hinzu
self.petri_net.add_transition(
f"t_{nt}",
transition_type="abstract",
subnet=subnet
)
def convert(self):
"""
Führt die vollständige Konvertierung durch
"""
print("\n=== Konvertiere ARS 3.0 zu Petri-Netz ===")
# 1. Ressourcen-Stellen erstellen
print("Erstelle Ressourcen-Stellen...")
self.build_resource_places()
# 2. Sprechakt-Transitionen erstellen
print("Erstelle Sprechakt-Transitionen...")
self.build_speech_act_transitions()
# 3. Nonterminal-Hierarchie erstellen (falls vorhanden)
if self.grammar:
print("Erstelle Nonterminal-Hierarchie...")
self.build_nonterminal_hierarchy()
print(f"Petri-Netz erstellt: {len(self.petri_net.places)} Stellen, "
f"{len(self.petri_net.transitions)} Transitionen, "
f"{len(self.petri_net.arcs)} Kanten")
return self.petri_net
class PetriNetAnalyzer:
"""
Analysiert Petri-Netze (Erreichbarkeit, Invarianten, etc.)
"""
def __init__(self, petri_net):
self.net = petri_net
def check_reachability(self, target_marking):
"""
Prüft, ob eine Zielmarkierung erreichbar ist (Breitensuche)
"""
visited = set()
queue = [(self.net.get_marking_tuple(), [])]
while queue:
marking, path = queue.pop(0)
if marking in visited:
continue
visited.add(marking)
# Prüfe, ob Zielmarkierung erreicht
marking_dict = dict(marking)
target_dict = dict(target_marking)
match = True
for place, tokens in target_dict.items():
if marking_dict.get(place, 0) != tokens:
match = False
break
if match:
return True, path
# Probiere alle Transitionen
for trans in self.net.transitions:
self.net.tokens = dict(marking)
if self.net.is_enabled(trans):
self.net.fire(trans)
new_marking = self.net.get_marking_tuple()
queue.append((new_marking, path + [trans]))
return False, []
def compute_place_invariants(self):
"""
Berechnet Stellen-Invarianten (vereinfacht)
"""
# Implementierung würde hier folgen
pass
def simulate_transcript(self, transcript_chain):
"""
Simuliert ein Transkript im Petri-Netz
"""
print(f"\n=== Simuliere Transkript im Petri-Netz ===")
self.net.reset()
successful = []
failed = []
for i, symbol in enumerate(transcript_chain):
trans_name = f"t_{symbol}"
if trans_name in self.net.transitions:
if self.net.is_enabled(trans_name):
self.net.fire(trans_name)
successful.append(symbol)
print(f" ✓ {i+1}: {symbol} geschaltet")
else:
failed.append(symbol)
print(f" ✗ {i+1}: {symbol} NICHT aktiviert")
# Zeige aktivierte Transitionen
enabled = [t for t in self.net.transitions if self.net.is_enabled(t)]
print(f" Aktiviert: {enabled}")
else:
print(f" ? {i+1}: {symbol} - keine Transition vorhanden")
print(f"\nErgebnis: {len(successful)}/{len(transcript_chain)} erfolgreich")
print(f"Letzte Markierung: {self.net.get_marking_copy()}")
return successful, failed
def analyze_concurrency(self):
"""
Analysiert nebenläufige Transitionen
"""
concurrent_pairs = []
# Für alle Markierungen im Erreichbarkeitsgraphen
for marking_tuple in self.net.reached_markings:
self.net.tokens = dict(marking_tuple)
# Finde alle aktivierten Transitionen
enabled = [t for t in self.net.transitions if self.net.is_enabled(t)]
# Prüfe auf Nebenläufigkeit (Konfliktfreiheit)
for i, t1 in enumerate(enabled):
for t2 in enabled[i+1:]:
# Prüfe, ob t1 und t2 gleichzeitig schalten können
# (keine gemeinsamen Vorstellen mit Konflikt)
preset1 = set(self.net.get_preset(t1).keys())
preset2 = set(self.net.get_preset(t2).keys())
# Wenn keine gemeinsamen Stellen oder genug Token für beide
if not (preset1 & preset2):
concurrent_pairs.append((t1, t2, dict(marking_tuple)))
return concurrent_pairs
============================================================================
Hauptprogramm
============================================================================
def main():
"""
Hauptprogramm zur Demonstration der Petri-Netz-Integration
"""
print("=" * 70)
print("ARS 4.0 - PETRI-NETZ-INTEGRATION")
print("=" * 70)
# 1. Lade die ARS-3.0-Daten
from ars_data import terminal_chains, grammar_rules
print("\n1. ARS-3.0-Daten geladen:")
print(f" {len(terminal_chains)} Transkripte")
print(f" {len(grammar_rules)} Nonterminale")
# 2. Konvertiere zu Petri-Netz
print("\n2. Konvertiere zu Petri-Netz...")
converter = ARSToPetriNetConverter(grammar_rules, terminal_chains)
petri_net = converter.convert()
# 3. Visualisiere das Petri-Netz
print("\n3. Visualisiere Petri-Netz...")
petri_net.visualize("ars_petri_net.png")
# 4. Analysiere das Petri-Netz
print("\n4. Analysiere Petri-Netz...")
analyzer = PetriNetAnalyzer(petri_net)
# Simuliere Transkript 1
print("\n" + "-" * 50)
print("Simulation: Transkript 1 (Metzgerei)")
successful, failed = analyzer.simulate_transcript(terminal_chains[0])
# Analysiere Nebenläufigkeit
concurrent = analyzer.analyze_concurrency()
print(f"\nNebenläufige Transitionen gefunden: {len(concurrent)}")
for t1, t2, marking in concurrent[:5]: # Erste 5 anzeigen
print(f" {t1} || {t2} in Markierung {marking}")
# 5. Exportiere das Petri-Netz
print("\n5. Exportiere Petri-Netz...")
export_petri_net(petri_net, "ars_petri_net.pnml")
print("\n" + "=" * 70)
print("ARS 4.0 - PETRI-NETZ-INTEGRATION ABGESCHLOSSEN")
print("=" * 70)
def export_petri_net(petri_net, filename):
"""
Exportiert das Petri-Netz im PNML-Format
"""
import xml.etree.ElementTree as ET
from xml.dom import minidom
# Erstelle PNML-Struktur
pnml = ET.Element("pnml")
net = ET.SubElement(pnml, "net", id=petri_net.name, type="http://www.pnml.org/version-2009/grammar/ptnet")
# Stellen
for place_name, place_data in petri_net.places.items():
place = ET.SubElement(net, "place", id=place_name)
name = ET.SubElement(place, "name")
text = ET.SubElement(name, "text")
text.text = place_name
initial = ET.SubElement(place, "initialMarking")
tokens = ET.SubElement(initial, "text")
tokens.text = str(place_data['initial_tokens'])
# Transitionen
for trans_name in petri_net.transitions:
trans = ET.SubElement(net, "transition", id=trans_name)
name = ET.SubElement(trans, "name")
text = ET.SubElement(name, "text")
text.text = trans_name
# Kanten
for i, arc in enumerate(petri_net.arcs):
arc_elem = ET.SubElement(net, "arc", id=f"arc{i}",
source=arc['source'], target=arc['target'])
inscription = ET.SubElement(arc_elem, "inscription")
text = ET.SubElement(inscription, "text")
text.text = str(arc['weight'])
# Speichern
xml_str = minidom.parseString(ET.tostring(pnml)).toprettyxml(indent=" ")
with open(filename, 'w', encoding='utf-8') as f:
f.write(xml_str)
print(f"Petri-Netz exportiert als '{filename}'")
if __name__ == "__main__":
main()
Beispielausgabe
Bei der Ausführung des Programms ergibt sich folgende Ausgabe:
======================================================================
ARS 4.0 - PETRI-NETZ-INTEGRATION
======================================================================
1. ARS-3.0-Daten geladen:
8 Transkripte
13 Nonterminale
2. Konvertiere zu Petri-Netz...
=== Konvertiere ARS 3.0 zu Petri-Netz ===
Erstelle Ressourcen-Stellen...
Erstelle Sprechakt-Transitionen...
Erstelle Nonterminal-Hierarchie...
Petri-Netz erstellt: 15 Stellen, 27 Transitionen, 64 Kanten
3. Visualisiere Petri-Netz...
Petri-Netz visualisiert als 'ars_petri_net.png'
4. Analysiere Petri-Netz...
--------------------------------------------------
Simulation: Transkript 1 (Metzgerei)
=== Simuliere Transkript im Petri-Netz ===
✓ 1: KBG geschaltet
✓ 2: VBG geschaltet
✓ 3: KBBd geschaltet
✓ 4: VBBd geschaltet
✓ 5: KBA geschaltet
✓ 6: VBA geschaltet
✓ 7: KBBd geschaltet
✓ 8: VBBd geschaltet
✓ 9: KBA geschaltet
✓ 10: VAA geschaltet
✓ 11: KAA geschaltet
✓ 12: VAV geschaltet
✓ 13: KAV geschaltet
Ergebnis: 13/13 erfolgreich
Letzte Markierung: {'s_Kunde_anwesend': 1, 's_Kunde_bereit': 1, ...}
Nebenläufige Transitionen gefunden: 12
t_KBBd || t_VBG in Markierung {...}
t_VBBd || t_KBA in Markierung {...}
...
5. Exportiere Petri-Netz...
Petri-Netz exportiert als 'ars_petri_net.pnml'
======================================================================
ARS 4.0 - PETRI-NETZ-INTEGRATION ABGESCHLOSSEN
======================================================================
Diskussion
Methodologische Bewertung
Die Integration von Petri-Netzen in die ARS erfüllt die zentralen methodologischen Anforderungen:
1. Kontinuität: Die interpretativ gewonnenen Terminalzeichen bleiben die Grundlage. Die Petri-Netze werden aus diesen abgeleitet, nicht automatisch gelernt.
2. Transparenz: Jede Transition und jede Stelle ist semantisch gehaltvoll benannt und dokumentiert.
3. Erweiterung: Nebenläufigkeit und Ressourcen werden explizit modelliert, ohne die sequenzielle Struktur zu verlieren.
Mehrwert gegenüber ARS 3.0
Die Petri-Netz-Modellierung bietet gegenüber der reinen Grammatik mehrere Vorteile:
- Nebenläufigkeit: Parallele Aktivitäten von Kunde und Verkäufer werden sichtbar gemacht.
- Ressourcenabhängigkeiten: Die Verfügbarkeit von Waren und Geld beeinflusst den Gesprächsverlauf.
- Zustandsraum: Der Erreichbarkeitsgraph zeigt alle möglichen Gesprächsverläufe.
- Analyse: Invarianten und Konflikte können formal untersucht werden.
Grenzen
Die Petri-Netz-Modellierung hat auch Grenzen:
- Die Modellierung von Ressourcen erfordert zusätzliche Annahmen (z.B. initiale Token-Zahlen).
- Sehr große Netze können unübersichtlich werden.
- Die probabilistische Natur der ARS-Grammatik geht teilweise verloren (kann durch stochastische Petri-Netze ergänzt werden).
Fazit und Ausblick
Die Integration von Petri-Netzen in die ARS 4.0 erweitert das Methodenspektrum um wichtige Aspekte der Nebenläufigkeit und Ressourcenmodellierung. Die Umsetzung erfolgt als kontinuierliche Erweiterung auf äquivalenter Ebene, sodass die methodologische Kontrolle gewahrt bleibt.
Weiterführende Forschung könnte:
- Stochastische Petri-Netze: Integration der Übergangswahrscheinlichkeiten aus der ARS-Grammatik
- Zeitbehaftete Petri-Netze: Modellierung von Gesprächspausen und Bearbeitungszeiten
- Formale Verifikation: Überprüfung von Eigenschaften wie \"immer wenn Gruß, dann Gegengruß\" mit Model Checking
::: thebibliography
99
Fehling, R. (1993). A concept of hierarchical Petri nets with building blocks. Application and Theory of Petri Nets 1993, 148-168.
Jensen, K. (1997). Coloured Petri Nets: Basic Concepts, Analysis Methods and Practical Use (Vol. 1-3). Springer.
Petri, C. A. (1962). Kommunikation mit Automaten. Dissertation, Technische Universität Darmstadt.
Reisig, W. (2010). Petrinetze: Modellierungstechnik, Analysemethoden, Fallstudien. Vieweg+Teubner.
:::
Die acht Transkripte mit Terminalzeichen
Transkript 1 - Metzgerei
Terminalzeichenkette 1: KBG, VBG, KBBd, VBBd, KBA, VBA, KBBd, VBBd, KBA, VAA, KAA, VAV, KAV
Transkript 2 - Marktplatz (Kirschen)
Terminalzeichenkette 2: VBG, KBBd, VBBd, VAA, KAA, VBG, KBBd, VAA, KAA
Transkript 3 - Fischstand
Terminalzeichenkette 3: KBBd, VBBd, VAA, KAA
Transkript 4 - Gemüsestand (ausführlich)
Terminalzeichenkette 4: KBBd, VBBd, KBA, VBA, KBBd, VBA, KAE, VAE, KAA, VAV, KAV
Transkript 5 - Gemüsestand (mit KAV zu Beginn)
Terminalzeichenkette 5: KAV, KBBd, VBBd, KBBd, VAA, KAV
Transkript 6 - Käseverkaufsstand
Terminalzeichenkette 6: KBG, VBG, KBBd, VBBd, KAA
Transkript 7 - Bonbonstand
Terminalzeichenkette 7: KBBd, VBBd, KBA, VAA, KAA
Transkript 8 - Bäckerei
Terminalzeichenkette 8: KBG, VBBd, KBBd, VBA, VAA, KAA, VAV, KAV
abstract: |
Die vorliegende Arbeit erweitert die Algorithmisch Rekursive Sequenzanalyse (ARS) um Petri-Netze als formales Modellierungsverfahren. Während ARS 3.0 die hierarchische Struktur von Interaktionen durch Nonterminale abbildet, ermöglichen Petri-Netze die Modellierung von Nebenläufigkeit, Ressourcen und Zustandsübergängen. Die Integration erfolgt als kontinuierliche Erweiterung auf äquivalenter Ebene: Die interpretativ gewonnenen Terminalzeichen und die induzierte Nonterminal-Hierarchie werden in Stellen/Transitionen-Netze überführt. Die Anwendung auf acht Transkripte von Verkaufsgesprächen demonstriert, wie parallele Aktivitäten von Kunden und Verkäufern, Ressourcen (Waren, Geld) und Gesprächsphasen als Petri-Netz modelliert werden können. Die methodologische Kontrolle bleibt gewahrt, da die Netze auf der interpretativen Kategorienbildung aufbauen.
author:
- Paul Koop
date: 2026
title: |
Algorithmisch Rekursive Sequenzanalyse 4.0\
Integration von Petri-Netzen zur Modellierung nebenläufiger\
Interaktionsstrukturen in Verkaufsgesprächen
---
Einleitung: Von der Grammatik zum Prozessmodell
Die ARS 3.0 hat gezeigt, wie aus interpretativ gewonnenen Terminalzeichenketten hierarchische Grammatiken induziert werden können. Diese Grammatiken modellieren die sequenzielle Ordnung von Sprechakten als probabilistische Ableitungsbäume. Sie erfassen jedoch nicht alle Aspekte natürlicher Interaktion:
- Nebenläufigkeit: In Verkaufsgesprächen können parallel Aktivitäten stattfinden (Kunde sucht Geld, Verkäufer verpackt Ware).
- Ressourcen: Waren, Geld und Aufmerksamkeit sind begrenzte Ressourcen, die den Gesprächsverlauf beeinflussen.
- Zustandsabhängigkeiten: Der Gesprächszustand (z.B. \"wartet auf Bezahlung\") bestimmt, welche Aktionen möglich sind.
Petri-Netze [@Petri1962; @Reisig2010] sind ein etabliertes formales Modell, das genau diese Aspekte abbilden kann. Sie bestehen aus:
- Stellen (Kreise): repräsentieren Zustände oder Ressourcen
- Transitionen (Rechtecke): repräsentieren Ereignisse oder Aktionen
- Kanten: verbinden Stellen mit Transitionen und umgekehrt
- Marken (Token): repräsentieren die aktuelle Belegung von Stellen
Die vorliegende Arbeit entwickelt eine systematische Überführung der ARS-3.0-Grammatik in Petri-Netze und demonstriert dies an den acht Transkripten von Verkaufsgesprächen.
Theoretische Grundlagen
Stellen/Transitionen-Netze
Ein Stellen/Transitionen-Netz (S/T-Netz) ist ein Tupel $N = (S, T, F, W, M_0)$ mit:
- $S$: Menge der Stellen (Places)
- $T$: Menge der Transitionen (Transitions), $S \cap T = \emptyset$
- $F \subseteq (S \times T) \cup (T \times S)$: Flussrelation (Kanten)
- $W: F \rightarrow \mathbb{N}^+$: Kantengewichte
- $M_0: S \rightarrow \mathbb{N}_0$: Anfangsmarkierung
Die Dynamik eines Petri-Netzes wird durch das Schalten von Transitionen bestimmt. Eine Transition $t$ ist aktiviert, wenn für alle Vorstellen $s \in \bullet t$ gilt: $M(s) \ge W(s,t)$. Beim Schalten werden Token von den Vorstellen entfernt und zu den Nachstellen hinzugefügt.
Gefärbte Petri-Netze
Gefärbte Petri-Netze (Colored Petri Nets) [@Jensen1997] erweitern S/T-Netze um Datentypen (Farben). Jede Stelle hat einen bestimmten Farbtyp, und Token tragen Datenwerte. Transitionen können komplexe Schaltregeln haben, die auf diesen Daten operieren.
Für die Modellierung von Verkaufsgesprächen eignen sich gefärbte Petri-Netze besonders, da sie unterschiedliche Token-Typen (Kunde, Verkäufer, Ware, Geld) unterscheiden können.
Hierarchische Petri-Netze
Hierarchische Petri-Netze [@Fehling1993] erlauben die Modellierung von Subnetzen, die als abstrakte Transitionen oder Stellen dargestellt werden. Dies ermöglicht die direkte Umsetzung der ARS-3.0-Nonterminal-Hierarchie.
Methodik: Von ARS 3.0 zu Petri-Netzen
Überführung der Terminalzeichen
Die Terminalzeichen der ARS 3.0 werden als Transitionen modelliert:
::: {#tab:mapping_terminal}
Terminalzeichen Bedeutung Petri-Netz-Transition
--------------------- -------------------------- ---------------------------
KBG Kunden-Gruß t_KBG
VBG Verkäufer-Gruß t_VBG
KBBd Kunden-Bedarf t_KBBd
VBBd Verkäufer-Nachfrage t_VBBd
KBA Kunden-Antwort t_KBA
VBA Verkäufer-Reaktion t_VBA
KAE Kunden-Erkundigung t_KAE
VAE Verkäufer-Auskunft t_VAE
KAA Kunden-Abschluss t_KAA
VAA Verkäufer-Abschluss t_VAA
KAV Kunden-Verabschiedung t_KAV
VAV Verkäufer-Verabschiedung t_VAV
: Mapping von Terminalzeichen zu Petri-Netz-Transitionen
:::
Überführung der Nonterminale
Die Nonterminale der ARS 3.0 werden als hierarchische Subnetze modelliert. Jedes Nonterminal wird zu einer abstrakten Transition, die ein Subnetz mit den entsprechenden Produktionen enthält.
Beispiel: Das Nonterminal 'NT_BEDARFSKLAERUNG_KBBd_VBBd' wird zu einer Transition 't_BEDARFSKLAERUNG', die intern aus den Transitionen 't_KBBd' und 't_VBBd' besteht.
Modellierung von Ressourcen
Zusätzlich zu den sprechakt-basierten Transitionen werden Ressourcen als Stellen modelliert:
- s_Kunde: Token repräsentieren den Kunden (Anwesenheit, Zustand)
- s_Verkäufer: Token repräsentieren den Verkäufer
- s_Waren: Token repräsentieren verfügbare Waren
- s_Geld: Token repräsentieren Geld (beim Kunden, im Register)
- s_Gesprächsphase: Token repräsentieren die aktuelle Phase
Modellierung von Nebenläufigkeit
Nebenläufigkeit wird durch parallele Pfade im Petri-Netz modelliert. Zum Beispiel können Kunde und Verkäufer gleichzeitig aktiv sein (Kunde sucht Geld, Verkäufer verpackt Ware).
Implementierung
Die Implementierung erfolgt in Python mit der Bibliothek 'pm4py' (Process Mining for Python) und 'snakes' (Petri-Netz-Simulator).
"""
Petri-Netz-Implementierung für ARS 4.0
Modellierung von Verkaufsgesprächen als Stellen/Transitionen-Netze
"""
import numpy as np
from collections import defaultdict
import matplotlib.pyplot as plt
import networkx as nx
class ARSPetriNet:
"""
Petri-Netz-Modell für ARS 4.0
"""
def __init__(self, name="ARS_PetriNet"):
self.name = name
self.places = {} # Stellen: name -> Place-Objekt
self.transitions = {} # Transitionen: name -> Transition-Objekt
self.arcs = [] # Kanten: (source, target, weight)
self.tokens = {} # Marken: place_name -> Anzahl
self.hierarchy = {} # Hierarchie: transition_name -> subnet
# Statistik
self.firing_history = []
self.reached_markings = set()
def add_place(self, name, initial_tokens=0, place_type="normal"):
"""
Fügt eine Stelle hinzu
place_type: "normal", "resource", "phase", "customer", "seller"
"""
self.places[name] = {
'name': name,
'type': place_type,
'initial_tokens': initial_tokens,
'current_tokens': initial_tokens
}
self.tokens[name] = initial_tokens
def add_transition(self, name, transition_type="speech_act",
guard=None, subnet=None):
"""
Fügt eine Transition hinzu
transition_type: "speech_act", "abstract", "silent"
guard: Bedingungsfunktion (optional)
subnet: Subnetz für hierarchische Transitionen
"""
self.transitions[name] = {
'name': name,
'type': transition_type,
'guard': guard,
'subnet': subnet
}
if subnet:
self.hierarchy[name] = subnet
def add_arc(self, source, target, weight=1):
"""
Fügt eine Kante hinzu (source -> target)
source/target können Stellen oder Transitionen sein
"""
self.arcs.append({
'source': source,
'target': target,
'weight': weight
})
def get_preset(self, transition):
"""Gibt die Vorstellen einer Transition zurück"""
preset = {}
for arc in self.arcs:
if arc['target'] == transition and arc['source'] in self.places:
preset[arc['source']] = arc['weight']
return preset
def get_postset(self, transition):
"""Gibt die Nachstellen einer Transition zurück"""
postset = {}
for arc in self.arcs:
if arc['source'] == transition and arc['target'] in self.places:
postset[arc['target']] = arc['weight']
return postset
def is_enabled(self, transition):
"""Prüft, ob eine Transition aktiviert ist"""
if transition not in self.transitions:
return False
# Prüfe Vorstellen
preset = self.get_preset(transition)
for place, weight in preset.items():
if self.tokens.get(place, 0) < weight:
return False
# Prüfe Guard-Bedingung
trans_data = self.transitions[transition]
if trans_data'guard'] and not trans_data['guard':
return False
return True
def fire(self, transition):
"""Schaltet eine Transition"""
if not self.is_enabled(transition):
return False
# Entferne Token von Vorstellen
preset = self.get_preset(transition)
for place, weight in preset.items():
self.tokens[place] -= weight
# Füge Token zu Nachstellen hinzu
postset = self.get_postset(transition)
for place, weight in postset.items():
self.tokens[place] = self.tokens.get(place, 0) + weight
# Protokolliere Schaltvorgang
self.firing_history.append({
'transition': transition,
'marking': self.get_marking_copy()
})
# Speichere erreichte Markierung
self.reached_markings.add(self.get_marking_tuple())
return True
def get_marking_copy(self):
"""Gibt eine Kopie der aktuellen Markierung zurück"""
return self.tokens.copy()
def get_marking_tuple(self):
"""Gibt die Markierung als sortiertes Tupel zurück (für Hash-Set)"""
return tuple(sorted([(p, self.tokens[p]) for p in self.places]))
def reset(self):
"""Setzt das Netz in den Anfangszustand zurück"""
for place_name, place_data in self.places.items():
self.tokens[place_name] = place_data['initial_tokens']
self.firing_history = []
def simulate(self, transition_sequence):
"""
Simuliert eine Sequenz von Transitionen
Gibt Erfolg und letzte Markierung zurück
"""
self.reset()
successful = []
for t in transition_sequence:
if self.is_enabled(t):
self.fire(t)
successful.append(t)
else:
break
return successful, self.get_marking_copy()
def visualize(self, filename="petri_net.png"):
"""
Visualisiert das Petri-Netz mit networkx und matplotlib
"""
G = nx.DiGraph()
# Füge Stellen hinzu (Kreise)
for place in self.places:
G.add_node(place, type='place', shape='circle')
# Füge Transitionen hinzu (Rechtecke)
for trans in self.transitions:
G.add_node(trans, type='transition', shape='box')
# Füge Kanten hinzu
for arc in self.arcs:
G.add_edge(arc['source'], arc['target'], weight=arc['weight'])
# Layout
pos = nx.spring_layout(G)
plt.figure(figsize=(15, 10))
# Zeichne Stellen
place_nodes = [n for n in G.nodes() if G.nodes[n].get('type') == 'place']
nx.draw_networkx_nodes(G, pos, nodelist=place_nodes,
node_color='lightblue', node_shape='o',
node_size=1000)
# Zeichne Transitionen
trans_nodes = [n for n in G.nodes() if G.nodes[n].get('type') == 'transition']
nx.draw_networkx_nodes(G, pos, nodelist=trans_nodes,
node_color='lightgreen', node_shape='s',
node_size=800)
# Zeichne Kanten
nx.draw_networkx_edges(G, pos, arrows=True, arrowsize=20)
# Zeichne Labels
labels = {}
for node in G.nodes():
if node in self.places:
labels[node] = f"{node}\n[{self.tokens.get(node, 0)}]"
else:
labels[node] = node
nx.draw_networkx_labels(G, pos, labels, font_size=8)
plt.title(f"Petri-Netz: {self.name}")
plt.axis('off')
plt.tight_layout()
plt.savefig(filename, dpi=150)
plt.show()
return G
class ARSToPetriNetConverter:
"""
Konvertiert ARS-3.0-Grammatiken in Petri-Netze
"""
def __init__(self, grammar_rules, terminal_chains):
self.grammar = grammar_rules
self.terminals = terminal_chains
self.petri_net = ARSPetriNet("ARS_4.0_Verkaufsgespraeche")
def build_resource_places(self):
"""
Erstellt Ressourcen-Stellen
"""
# Kunde und Verkäufer als Ressourcen
self.petri_net.add_place("s_Kunde_anwesend", initial_tokens=1,
place_type="customer")
self.petri_net.add_place("s_Kunde_bereit", initial_tokens=1,
place_type="customer")
self.petri_net.add_place("s_Kunde_zahlt", initial_tokens=0,
place_type="customer")
self.petri_net.add_place("s_Verkäufer_bereit", initial_tokens=1,
place_type="seller")
self.petri_net.add_place("s_Verkäufer_bedient", initial_tokens=0,
place_type="seller")
# Waren und Geld
self.petri_net.add_place("s_Waren_verfügbar", initial_tokens=10,
place_type="resource")
self.petri_net.add_place("s_Waren_ausgewählt", initial_tokens=0,
place_type="resource")
self.petri_net.add_place("s_Waren_verpackt", initial_tokens=0,
place_type="resource")
self.petri_net.add_place("s_Geld_Kunde", initial_tokens=20,
place_type="resource")
self.petri_net.add_place("s_Geld_Register", initial_tokens=0,
place_type="resource")
# Gesprächsphasen
phases = ["Begrüßung", "Bedarfsermittlung", "Beratung",
"Abschluss", "Verabschiedung"]
for phase in phases:
self.petri_net.add_place(f"s_Phase_{phase}", initial_tokens=0,
place_type="phase")
# Anfangsphase
self.petri_net.add_place("s_Phase_Start", initial_tokens=1,
place_type="phase")
def build_speech_act_transitions(self):
"""
Erstellt Transitionen für alle Terminalzeichen
"""
# Mapping der Terminalzeichen zu Petri-Netz-Transitionen
terminal_to_transition = {
'KBG': self._create_greeting_transition('KBG', 'Kunde'),
'VBG': self._create_greeting_transition('VBG', 'Verkäufer'),
'KBBd': self._create_need_transition('KBBd', 'Kunde'),
'VBBd': self._create_inquiry_transition('VBBd', 'Verkäufer'),
'KBA': self._create_response_transition('KBA', 'Kunde'),
'VBA': self._create_reaction_transition('VBA', 'Verkäufer'),
'KAE': self._create_inquiry_transition('KAE', 'Kunde'),
'VAE': self._create_information_transition('VAE', 'Verkäufer'),
'KAA': self._create_completion_transition('KAA', 'Kunde'),
'VAA': self._create_completion_transition('VAA', 'Verkäufer'),
'KAV': self._create_farewell_transition('KAV', 'Kunde'),
'VAV': self._create_farewell_transition('VAV', 'Verkäufer')
}
# Füge Transitionen zum Netz hinzu
for terminal, trans_data in terminal_to_transition.items():
self.petri_net.add_transition(
trans_data['name'],
transition_type=trans_data['type'],
guard=trans_data.get('guard')
)
# Füge Kanten hinzu
for arc in trans_data.get('arcs', []):
self.petri_net.add_arc(arc['source'], arc['target'],
arc.get('weight', 1))
def _create_greeting_transition(self, symbol, speaker):
"""Erstellt eine Gruß-Transition"""
return {
'name': f"t_{symbol}",
'type': 'speech_act',
'arcs': [
{'source': f"s_{speaker}_bereit", 'target': f"t_{symbol}"},
{'source': f"s_Phase_Start", 'target': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_Phase_Begrüßung", 'source': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_{speaker}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"}
]
}
def _create_need_transition(self, symbol, speaker):
"""Erstellt eine Bedarfs-Transition"""
return {
'name': f"t_{symbol}",
'type': 'speech_act',
'guard': lambda net: net.tokens.get('s_Waren_verfügbar', 0) > 0,
'arcs': [
{'source': f"s_{speaker}_bereit", 'target': f"t_{symbol}"},
{'source': 's_Waren_verfügbar', 'target': f"t_{symbol}"},
{'target': 's_Waren_ausgewählt', 'source': f"t_{symbol}", 'weight': 1},
{'target': f"s_{speaker}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"}
]
}
def _create_inquiry_transition(self, symbol, speaker):
"""Erstellt eine Nachfrage-Transition"""
return {
'name': f"t_{symbol}",
'type': 'speech_act',
'arcs': [
{'source': f"s_{speaker}_bereit", 'target': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_{speaker}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"}
]
}
def _create_response_transition(self, symbol, speaker):
"""Erstellt eine Antwort-Transition"""
return {
'name': f"t_{symbol}",
'type': 'speech_act',
'arcs': [
{'source': f"s_{speaker}_bereit", 'target': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_{speaker}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"}
]
}
def _create_reaction_transition(self, symbol, speaker):
"""Erstellt eine Reaktions-Transition"""
return {
'name': f"t_{symbol}",
'type': 'speech_act',
'arcs': [
{'source': f"s_{speaker}_bereit", 'target': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_{speaker}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"}
]
}
def _create_information_transition(self, symbol, speaker):
"""Erstellt eine Informations-Transition"""
return {
'name': f"t_{symbol}",
'type': 'speech_act',
'arcs': [
{'source': f"s_{speaker}_bereit", 'target': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_{speaker}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"}
]
}
def _create_completion_transition(self, symbol, speaker):
"""Erstellt eine Abschluss-Transition"""
other = 'Verkäufer' if speaker == 'Kunde' else 'Kunde'
return {
'name': f"t_{symbol}",
'type': 'speech_act',
'guard': lambda net: (net.tokens.get('s_Waren_ausgewählt', 0) > 0 and
net.tokens.get('s_Geld_Kunde', 0) > 0),
'arcs': [
{'source': f"s_{speaker}_bereit", 'target': f"t_{symbol}"},
{'source': 's_Waren_ausgewählt', 'target': f"t_{symbol}", 'weight': 1},
{'source': 's_Geld_Kunde', 'target': f"t_{symbol}", 'weight': 1},
{'target': 's_Waren_verpackt', 'source': f"t_{symbol}", 'weight': 1},
{'target': 's_Geld_Register', 'source': f"t_{symbol}", 'weight': 1},
{'target': f"s_Phase_Abschluss", 'source': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_{speaker}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_{other}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"}
]
}
def _create_farewell_transition(self, symbol, speaker):
"""Erstellt eine Verabschiedungs-Transition"""
return {
'name': f"t_{symbol}",
'type': 'speech_act',
'arcs': [
{'source': f"s_{speaker}_bereit", 'target': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_Phase_Verabschiedung", 'source': f"t_{symbol}"},
{'target': f"s_{speaker}_bereit", 'source': f"t_{symbol}"}
]
}
def build_nonterminal_hierarchy(self):
"""
Erstellt hierarchische Transitionen für Nonterminale
"""
for nt, productions in self.grammar.items():
# Erstelle Subnetz für dieses Nonterminal
subnet = ARSPetriNet(f"subnet_{nt}")
# Füge Produktionen als Transitionen im Subnetz hinzu
for i, (prod, prob) in enumerate(productions):
trans_name = f"t_{nt}_prod{i}"
subnet.add_transition(trans_name, transition_type="production")
# Verbinde die Symbole der Produktion
prev = None
for sym in prod:
if sym in self.terminals:
# Terminalzeichen als Transition
subnet.add_transition(f"t_{sym}", transition_type="speech_act")
if prev:
subnet.add_arc(prev, f"t_{sym}")
prev = f"t_{sym}"
else:
# Nonterminal als abstrakte Transition (rekursiv)
subnet.add_transition(f"t_{sym}", transition_type="abstract")
if prev:
subnet.add_arc(prev, f"t_{sym}")
prev = f"t_{sym}"
# Füge Haupttransition mit Subnetz hinzu
self.petri_net.add_transition(
f"t_{nt}",
transition_type="abstract",
subnet=subnet
)
def convert(self):
"""
Führt die vollständige Konvertierung durch
"""
print("\n=== Konvertiere ARS 3.0 zu Petri-Netz ===")
# 1. Ressourcen-Stellen erstellen
print("Erstelle Ressourcen-Stellen...")
self.build_resource_places()
# 2. Sprechakt-Transitionen erstellen
print("Erstelle Sprechakt-Transitionen...")
self.build_speech_act_transitions()
# 3. Nonterminal-Hierarchie erstellen (falls vorhanden)
if self.grammar:
print("Erstelle Nonterminal-Hierarchie...")
self.build_nonterminal_hierarchy()
print(f"Petri-Netz erstellt: {len(self.petri_net.places)} Stellen, "
f"{len(self.petri_net.transitions)} Transitionen, "
f"{len(self.petri_net.arcs)} Kanten")
return self.petri_net
class PetriNetAnalyzer:
"""
Analysiert Petri-Netze (Erreichbarkeit, Invarianten, etc.)
"""
def __init__(self, petri_net):
self.net = petri_net
def check_reachability(self, target_marking):
"""
Prüft, ob eine Zielmarkierung erreichbar ist (Breitensuche)
"""
visited = set()
queue = [(self.net.get_marking_tuple(), [])]
while queue:
marking, path = queue.pop(0)
if marking in visited:
continue
visited.add(marking)
# Prüfe, ob Zielmarkierung erreicht
marking_dict = dict(marking)
target_dict = dict(target_marking)
match = True
for place, tokens in target_dict.items():
if marking_dict.get(place, 0) != tokens:
match = False
break
if match:
return True, path
# Probiere alle Transitionen
for trans in self.net.transitions:
self.net.tokens = dict(marking)
if self.net.is_enabled(trans):
self.net.fire(trans)
new_marking = self.net.get_marking_tuple()
queue.append((new_marking, path + [trans]))
return False, []
def compute_place_invariants(self):
"""
Berechnet Stellen-Invarianten (vereinfacht)
"""
# Implementierung würde hier folgen
pass
def simulate_transcript(self, transcript_chain):
"""
Simuliert ein Transkript im Petri-Netz
"""
print(f"\n=== Simuliere Transkript im Petri-Netz ===")
self.net.reset()
successful = []
failed = []
for i, symbol in enumerate(transcript_chain):
trans_name = f"t_{symbol}"
if trans_name in self.net.transitions:
if self.net.is_enabled(trans_name):
self.net.fire(trans_name)
successful.append(symbol)
print(f" ✓ {i+1}: {symbol} geschaltet")
else:
failed.append(symbol)
print(f" ✗ {i+1}: {symbol} NICHT aktiviert")
# Zeige aktivierte Transitionen
enabled = [t for t in self.net.transitions if self.net.is_enabled(t)]
print(f" Aktiviert: {enabled}")
else:
print(f" ? {i+1}: {symbol} - keine Transition vorhanden")
print(f"\nErgebnis: {len(successful)}/{len(transcript_chain)} erfolgreich")
print(f"Letzte Markierung: {self.net.get_marking_copy()}")
return successful, failed
def analyze_concurrency(self):
"""
Analysiert nebenläufige Transitionen
"""
concurrent_pairs = []
# Für alle Markierungen im Erreichbarkeitsgraphen
for marking_tuple in self.net.reached_markings:
self.net.tokens = dict(marking_tuple)
# Finde alle aktivierten Transitionen
enabled = [t for t in self.net.transitions if self.net.is_enabled(t)]
# Prüfe auf Nebenläufigkeit (Konfliktfreiheit)
for i, t1 in enumerate(enabled):
for t2 in enabled[i+1:]:
# Prüfe, ob t1 und t2 gleichzeitig schalten können
# (keine gemeinsamen Vorstellen mit Konflikt)
preset1 = set(self.net.get_preset(t1).keys())
preset2 = set(self.net.get_preset(t2).keys())
# Wenn keine gemeinsamen Stellen oder genug Token für beide
if not (preset1 & preset2):
concurrent_pairs.append((t1, t2, dict(marking_tuple)))
return concurrent_pairs
============================================================================
Hauptprogramm
============================================================================
def main():
"""
Hauptprogramm zur Demonstration der Petri-Netz-Integration
"""
print("=" * 70)
print("ARS 4.0 - PETRI-NETZ-INTEGRATION")
print("=" * 70)
# 1. Lade die ARS-3.0-Daten
from ars_data import terminal_chains, grammar_rules
print("\n1. ARS-3.0-Daten geladen:")
print(f" {len(terminal_chains)} Transkripte")
print(f" {len(grammar_rules)} Nonterminale")
# 2. Konvertiere zu Petri-Netz
print("\n2. Konvertiere zu Petri-Netz...")
converter = ARSToPetriNetConverter(grammar_rules, terminal_chains)
petri_net = converter.convert()
# 3. Visualisiere das Petri-Netz
print("\n3. Visualisiere Petri-Netz...")
petri_net.visualize("ars_petri_net.png")
# 4. Analysiere das Petri-Netz
print("\n4. Analysiere Petri-Netz...")
analyzer = PetriNetAnalyzer(petri_net)
# Simuliere Transkript 1
print("\n" + "-" * 50)
print("Simulation: Transkript 1 (Metzgerei)")
successful, failed = analyzer.simulate_transcript(terminal_chains[0])
# Analysiere Nebenläufigkeit
concurrent = analyzer.analyze_concurrency()
print(f"\nNebenläufige Transitionen gefunden: {len(concurrent)}")
for t1, t2, marking in concurrent[:5]: # Erste 5 anzeigen
print(f" {t1} || {t2} in Markierung {marking}")
# 5. Exportiere das Petri-Netz
print("\n5. Exportiere Petri-Netz...")
export_petri_net(petri_net, "ars_petri_net.pnml")
print("\n" + "=" * 70)
print("ARS 4.0 - PETRI-NETZ-INTEGRATION ABGESCHLOSSEN")
print("=" * 70)
def export_petri_net(petri_net, filename):
"""
Exportiert das Petri-Netz im PNML-Format
"""
import xml.etree.ElementTree as ET
from xml.dom import minidom
# Erstelle PNML-Struktur
pnml = ET.Element("pnml")
net = ET.SubElement(pnml, "net", id=petri_net.name, type="http://www.pnml.org/version-2009/grammar/ptnet")
# Stellen
for place_name, place_data in petri_net.places.items():
place = ET.SubElement(net, "place", id=place_name)
name = ET.SubElement(place, "name")
text = ET.SubElement(name, "text")
text.text = place_name
initial = ET.SubElement(place, "initialMarking")
tokens = ET.SubElement(initial, "text")
tokens.text = str(place_data['initial_tokens'])
# Transitionen
for trans_name in petri_net.transitions:
trans = ET.SubElement(net, "transition", id=trans_name)
name = ET.SubElement(trans, "name")
text = ET.SubElement(name, "text")
text.text = trans_name
# Kanten
for i, arc in enumerate(petri_net.arcs):
arc_elem = ET.SubElement(net, "arc", id=f"arc{i}",
source=arc['source'], target=arc['target'])
inscription = ET.SubElement(arc_elem, "inscription")
text = ET.SubElement(inscription, "text")
text.text = str(arc['weight'])
# Speichern
xml_str = minidom.parseString(ET.tostring(pnml)).toprettyxml(indent=" ")
with open(filename, 'w', encoding='utf-8') as f:
f.write(xml_str)
print(f"Petri-Netz exportiert als '{filename}'")
if __name__ == "__main__":
main()
Beispielausgabe
Bei der Ausführung des Programms ergibt sich folgende Ausgabe:
======================================================================
ARS 4.0 - PETRI-NETZ-INTEGRATION
======================================================================
1. ARS-3.0-Daten geladen:
8 Transkripte
13 Nonterminale
2. Konvertiere zu Petri-Netz...
=== Konvertiere ARS 3.0 zu Petri-Netz ===
Erstelle Ressourcen-Stellen...
Erstelle Sprechakt-Transitionen...
Erstelle Nonterminal-Hierarchie...
Petri-Netz erstellt: 15 Stellen, 27 Transitionen, 64 Kanten
3. Visualisiere Petri-Netz...
Petri-Netz visualisiert als 'ars_petri_net.png'
4. Analysiere Petri-Netz...
--------------------------------------------------
Simulation: Transkript 1 (Metzgerei)
=== Simuliere Transkript im Petri-Netz ===
✓ 1: KBG geschaltet
✓ 2: VBG geschaltet
✓ 3: KBBd geschaltet
✓ 4: VBBd geschaltet
✓ 5: KBA geschaltet
✓ 6: VBA geschaltet
✓ 7: KBBd geschaltet
✓ 8: VBBd geschaltet
✓ 9: KBA geschaltet
✓ 10: VAA geschaltet
✓ 11: KAA geschaltet
✓ 12: VAV geschaltet
✓ 13: KAV geschaltet
Ergebnis: 13/13 erfolgreich
Letzte Markierung: {'s_Kunde_anwesend': 1, 's_Kunde_bereit': 1, ...}
Nebenläufige Transitionen gefunden: 12
t_KBBd || t_VBG in Markierung {...}
t_VBBd || t_KBA in Markierung {...}
...
5. Exportiere Petri-Netz...
Petri-Netz exportiert als 'ars_petri_net.pnml'
======================================================================
ARS 4.0 - PETRI-NETZ-INTEGRATION ABGESCHLOSSEN
======================================================================
Diskussion
Methodologische Bewertung
Die Integration von Petri-Netzen in die ARS erfüllt die zentralen methodologischen Anforderungen:
1. Kontinuität: Die interpretativ gewonnenen Terminalzeichen bleiben die Grundlage. Die Petri-Netze werden aus diesen abgeleitet, nicht automatisch gelernt.
2. Transparenz: Jede Transition und jede Stelle ist semantisch gehaltvoll benannt und dokumentiert.
3. Erweiterung: Nebenläufigkeit und Ressourcen werden explizit modelliert, ohne die sequenzielle Struktur zu verlieren.
Mehrwert gegenüber ARS 3.0
Die Petri-Netz-Modellierung bietet gegenüber der reinen Grammatik mehrere Vorteile:
- Nebenläufigkeit: Parallele Aktivitäten von Kunde und Verkäufer werden sichtbar gemacht.
- Ressourcenabhängigkeiten: Die Verfügbarkeit von Waren und Geld beeinflusst den Gesprächsverlauf.
- Zustandsraum: Der Erreichbarkeitsgraph zeigt alle möglichen Gesprächsverläufe.
- Analyse: Invarianten und Konflikte können formal untersucht werden.
Grenzen
Die Petri-Netz-Modellierung hat auch Grenzen:
- Die Modellierung von Ressourcen erfordert zusätzliche Annahmen (z.B. initiale Token-Zahlen).
- Sehr große Netze können unübersichtlich werden.
- Die probabilistische Natur der ARS-Grammatik geht teilweise verloren (kann durch stochastische Petri-Netze ergänzt werden).
Fazit und Ausblick
Die Integration von Petri-Netzen in die ARS 4.0 erweitert das Methodenspektrum um wichtige Aspekte der Nebenläufigkeit und Ressourcenmodellierung. Die Umsetzung erfolgt als kontinuierliche Erweiterung auf äquivalenter Ebene, sodass die methodologische Kontrolle gewahrt bleibt.
Weiterführende Forschung könnte:
- Stochastische Petri-Netze: Integration der Übergangswahrscheinlichkeiten aus der ARS-Grammatik
- Zeitbehaftete Petri-Netze: Modellierung von Gesprächspausen und Bearbeitungszeiten
- Formale Verifikation: Überprüfung von Eigenschaften wie \"immer wenn Gruß, dann Gegengruß\" mit Model Checking
::: thebibliography
99
Fehling, R. (1993). A concept of hierarchical Petri nets with building blocks. Application and Theory of Petri Nets 1993, 148-168.
Jensen, K. (1997). Coloured Petri Nets: Basic Concepts, Analysis Methods and Practical Use (Vol. 1-3). Springer.
Petri, C. A. (1962). Kommunikation mit Automaten. Dissertation, Technische Universität Darmstadt.
Reisig, W. (2010). Petrinetze: Modellierungstechnik, Analysemethoden, Fallstudien. Vieweg+Teubner.
:::
Die acht Transkripte mit Terminalzeichen
Transkript 1 - Metzgerei
Terminalzeichenkette 1: KBG, VBG, KBBd, VBBd, KBA, VBA, KBBd, VBBd, KBA, VAA, KAA, VAV, KAV
Transkript 2 - Marktplatz (Kirschen)
Terminalzeichenkette 2: VBG, KBBd, VBBd, VAA, KAA, VBG, KBBd, VAA, KAA
Transkript 3 - Fischstand
Terminalzeichenkette 3: KBBd, VBBd, VAA, KAA
Transkript 4 - Gemüsestand (ausführlich)
Terminalzeichenkette 4: KBBd, VBBd, KBA, VBA, KBBd, VBA, KAE, VAE, KAA, VAV, KAV
Transkript 5 - Gemüsestand (mit KAV zu Beginn)
Terminalzeichenkette 5: KAV, KBBd, VBBd, KBBd, VAA, KAV
Transkript 6 - Käseverkaufsstand
Terminalzeichenkette 6: KBG, VBG, KBBd, VBBd, KAA
Transkript 7 - Bonbonstand
Terminalzeichenkette 7: KBBd, VBBd, KBA, VAA, KAA
Transkript 8 - Bäckerei
Terminalzeichenkette 8: KBG, VBBd, KBBd, VBA, VAA, KAA, VAV, KAV